Calcule a integral dupla.
integral duplaR y e^-s t d A, R=[0,2] times[0,3]

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
integral duplaRy,e^-x y,dA,
onde R=[0,2]times[0,3]. Vamos usar o teorema de Fubini para reduzir a integral dupla a iteradas em um retângulo e, em seguida, integrar funções exponenciais.

Passo 2

Pelo teorema de Fubini, escolhemos integrar primeiro em x e depois em y. Assim,
integral duplaRy,e^-x y,dA =integraly=0^3l(integralx=0^2y,e^-x ydxr)dy

Passo 3

No integral interno, y é constante, então
integralx=0^2y,e^-x ydx =yintegral0^2e^-x ydx =yl[-e^-x yyr]0^2 =1-e^-2y

Passo 4

Substituindo no integral externo, temos
integraly=0^3(1-e^-2y)dy =l[y+e^-2y2r]0^3 =3-tfrac12+tfrace^-62 =5+e^-62

Resposta

5+e^-62

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