Determine o volume do sólido
, onde:
é limitado pela esfera
e pelo paraboloide
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido
limitado pela esfera
e pelo paraboloide
O conteúdo principal é cálculo de volume por coordenadas cilíndricas. Vamos:
- Encontrar a curva de interseção das superfícies para determinar os limites de
e . - Expressar a integral tripla em coordenadas cilíndricas
. - Calcular a integral.
Passo 2
Para achar a curva de interseção, substituímos
nas equações:
Da segunda vem
, então na esfera
Descartamos
(fica fora do paraboloide aberto para cima) e ficamos com
. Então
, isto é,
.
Passo 3
Em coordenadas cilíndricas
, o volume é
Integramos primeiro em
:
Logo
Passo 4
Calculamos
faça
,
, os limites vão de
a
:
E
Portanto
Passo 5
Substituindo em
: