Determine o volume do sólido W subset R^3, onde:
W é limitado pela esfera x^2+y^2+z^2=4 e pelo paraboloide x^2+y^2=3 z.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido WsubsetR^3 limitado pela esfera
x^2+y^2+z^2=4
e pelo paraboloide
x^2+y^2=3z
O conteúdo principal é cálculo de volume por coordenadas cilíndricas. Vamos:
  1. Encontrar a curva de interseção das superfícies para determinar os limites de r e z.
  2. Expressar a integral tripla em coordenadas cilíndricas (r,theta,z).
  3. Calcular a integral.

Passo 2

Para achar a curva de interseção, substituímos x^2+y^2=r^2 nas equações:
r^2+z^2=4, r^2=3z
Da segunda vem r^2=3z, então na esfera
3z+z^2=4 ;Longrightarrow; z^2+3z-4=0 ;Longrightarrow; (z+4)(z-1)=0
Descartamos z=-4 (fica fora do paraboloide aberto para cima) e ficamos com z=1. Então r^2=3cdot1=3, isto é, r=raiz3.

Passo 3

Em coordenadas cilíndricas (x=rcostheta,y=rsintheta,z=z), o volume é
V=integral0^2pi!integralr=0^raiz3!integralz=r^23^,raiz4-r^2 r ,dz,dr,dtheta
Integramos primeiro em z:
integralz=r^23^raiz4-r^2r,dz = rl(raiz4-r^2-tfracr^23r)
Logo
V =2piintegral0^raiz3l[rraiz4-r^2-tfracr^33r]dr

Passo 4

Calculamos
I1=integral0^raiz3rraiz4-r^2,dr,
faça u=4-r^2, du=-2r,dr, os limites vão de u(0)=4 a u(raiz3)=1:
I1 =12integral1^4raizu,du =12cdot23l[u^3/2r]1^4 =13l(8-1r) =73
E
I2=integral0^raiz3r^33,dr =13cdot(raiz3)^44 =13cdot94 =34
Portanto
integral0^raiz3l[rraiz4-r^2-tfracr^33r]dr =I1-I2 =73-34 =28-912 =1912

Passo 5

Substituindo em V:
V =2picdot1912 =19pi6

Resposta

19pi6

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