Encontre a série que representa f^prime(x) e determine seu raio de convergência:
f(x)=sumn=2^infty(x-4)^2 n-3 (2 n-2),!

Passo 1

O enunciado dá a função em série centrada em x=4:
f(x)=sumn=2^infty(x-4)^2n-3,(2n-2)!
Pede-se a série que representa f'(x) e o seu raio de convergência. O conteúdo usado será (i) derivação termo a termo de séries de potências e (ii) teste da razão para determinar o raio de convergência.

Passo 2

Derivando termo a termo temos
ddxl[(x-4)^2n-3r]=(2n-3),(x-4)^2n-4,
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f'(x)=sumn=2^infty(2n-3),(2n-2)!,(x-4)^2n-4

Passo 3

Para simplificar o índice, faça k=n-2, de modo que n=k+2. Então 2n-4=2k, 2n-3=2k+1 e (2n-2)!=(2k+2)!. Assim
f'(x)=sumk=0^infty(2k+1),(2k+2)!,(x-4)^2k

Passo 4

Use o teste da razão no termo geral
;ak=(2k+1)(2k+2)!,(x-4)^2k
Calcule
limktoinfty|ak+1ak| =limktoinfty(2k+3)(2k+4)!(2k+1)(2k+2)!,l|x-4r|^2 =limktoinfty4,k^2,l|x-4r|^2
que tende a infty para todo ,xneq4. Logo a série converge somente em x=4, ou seja, o raio de convergência é zero.

Resposta

A derivada em série fica
f'(x)=sumk=0^infty(2k+1),(2k+2)!,(x-4)^2k,
e o raio de convergência é R=0.

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