Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada.
\int_{0}^{1} \int_{\sqrt{y}-1}^{y-y^{3}}(1-x) d x d y
\int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x}(1-x-y) d y d x[

Passo 1

O enunciado pede para esboçar dois sólidos cujos volumes são dados pelas integrais iteradas
V_1 = \int_{0}^{1}\!\int_{\sqrt{y}-1}^{\,y - y^3}(1 - x)\,dx\,dy
e
V_2 = \int_{0}^{1}\!\int_{0}^{\,1 - x}(1 - x - y)\,dy\,dx.
O conteúdo aqui é que cada integral dupla representa
V = \iint_{D} f(x,y)\,dA,
onde D é a região de projeção no plano xy e z = f(x,y) é a altura do sólido. Para esboçar cada sólido vamos:
– identificar a região D a partir dos limites;
– identificar a função altura f(x,y);
– desenhar a base D e a superfície z=f(x,y).

Passo 2

Para a primeira integral temos
– região de projeção
D_1 = \bigl\{(x,y)\mid 0 \le y \le 1,\;\sqrt{y}-1 \le x \le y - y^3\bigr\},
– altura do sólido
z = f_1(x,y) = 1 - x,
e volume V_1 = \iint_{D_1}(1 - x)\,dA.

Passo 3

A região D_1 no plano xy é limitada por três curvas:
  1. a curva de bordo inferior y=0, com x variando de -1 a 0;
  2. a curva à esquerda x = \sqrt{y} - 1 (uma parábola deslocada);
  3. a curva à direita x = y - y^3 (um arco que parte de (0,0) sobe até (0,1)).
    Essas três bordas formam uma região “em forma de triângulo curvo”.

Passo 4

O sólido 1 é o conjunto de pontos
\{(x,y,z)\mid (x,y)\in D_1,\;0\le z \le 1 - x\}.
Para esboçar: desenhe primeiro D_1 no plano xy, depois sobre cada ponto de D_1 trace uma reta vertical de z=0 até z=1-x. A superfície superior é o plano inclinado x+z=1.

Passo 5

Para a segunda integral temos
– região de projeção
D_2 = \bigl\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;0\le y\le1-x\bigr\},
– altura do sólido
z = f_2(x,y) = 1 - x - y,
e volume V_2 = \iint_{D_2}(1 - x - y)\,dA.

Passo 6

A região D_2 é o triângulo retângulo de vértices (0,0), (1,0) e (0,1). O sólido 2 é
\{(x,y,z)\mid (x,y)\in D_2,\;0\le z \le 1 - x - y\},
ou seja, um tetraedro limitado pelos planos coordenados e pelo plano x+y+z=1. No esboço, basta desenhar o triângulo D_2 e elevar até o vértice em z=1.

Resposta

(a) O primeiro sólido fica sob o plano z=1-x sobre a região curva D_1 no plano xy limitada por y=0, x=\sqrt{y}-1 e x=y-y^3, estendendo-se verticalmente de z=0 até z=1-x.
(b) O segundo sólido é o tetraedro na primeira octante, de base o triângulo 0\le x\le1, 0\le y\le1-x e altura dada pelo plano x+y+z=1.

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