Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar dois sólidos cujos volumes são dados pelas integrais iteradas
e
O conteúdo aqui é que cada integral dupla representa
onde
é a região de projeção no plano
e
é a altura do sólido. Para esboçar cada sólido vamos:
– identificar a região a partir dos limites;
– identificar a função altura ;
– desenhar a base e a superfície
.
– identificar a região
– identificar a função altura
– desenhar a base
Passo 2
Para a primeira integral temos
– região de projeção
– região de projeção
– altura do sólido
e volume
.
Passo 3
A região
no plano
é limitada por três curvas:
- a curva de bordo inferior
, com variando de a ; - a curva à esquerda
(uma parábola deslocada); - a curva à direita
(um arco que parte de sobe até ).
Essas três bordas formam uma região “em forma de triângulo curvo”.
Passo 4
O sólido 1 é o conjunto de pontos
Para esboçar: desenhe primeiro
no plano
, depois sobre cada ponto de
trace uma reta vertical de
até
. A superfície superior é o plano inclinado
.
Passo 5
Para a segunda integral temos
– região de projeção
– região de projeção
– altura do sólido
e volume
.
Passo 6
A região
é o triângulo retângulo de vértices
,
e
. O sólido 2 é
ou seja, um tetraedro limitado pelos planos coordenados e pelo plano
. No esboço, basta desenhar o triângulo
e elevar até o vértice em
.
Resposta
(a) O primeiro sólido fica sob o plano
sobre a região curva
no plano
limitada por
,
e
, estendendo-se verticalmente de
até
.
(b) O segundo sólido é o tetraedro na primeira octante, de base o triângulo ,
e altura dada pelo plano
.
(b) O segundo sólido é o tetraedro na primeira octante, de base o triângulo