Determine o volume do sólido z=x+2 delimitado pelas curvas x=raizy e y=2 x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido definido pela superfície $ z = x + 2 $ e limitado pelas curvas $ x = \sqrt{y} $ e $ y = 2x $. Isso envolve um pouco de geometria analítica e cálculo integral, mais especificamente integrais duplas para calcular volumes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as curvas que delimitam a região. Temos $ x = \sqrt{y} $ e $ y = 2x $. Para visualizar melhor, vamos reescrever $ x = \sqrt{y} $ como $ y = x^2 $. Agora, temos duas curvas: $ y = x^2 $ (uma parábola) e $ y = 2x $ (uma reta). Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas para saber os limites de integração.

Passo 3

Igualando as duas expressões para $ y $:
y
Subtraindo $ 2x $ de ambos os lados:
x^2 = 2x
Fatorando:
2x
Então, as soluções são $ x = 0 $ e $ x = 2 $. Portanto, a região de integração em $ x $ vai de 0 a 2.

Passo 4

Agora, para cada valor de $ x $ entre 0 e 2, $ y $ varia de $ y = x^2 $ até $ y = 2x $. Então, nossos limites de integração para $ y $ são de $ x^2 $ a $ 2x $.

Passo 5

Para calcular o volume sob a superfície $ z = x + 2 $ e acima da região $ D $ delimitada pelas curvas, usamos a integral dupla:
z = x + 2
Substituindo os limites que encontramos:
D

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a $ y $:
y
Isso simplifica para:
integralx^2^2x (x + 2) , dy = (x + 2)(2x - x^2)

Passo 7

Agora, substituímos de volta na integral externa:
V = integral0^2 (4x - x^3) , dx
Vamos integrar termo a termo:
integral 4x , dx = 2x^2 e integral x^3 , dx = x^44
Então:
V = [ 2x^2 - x^44 ]0^2

Passo 8

Calculando nos limites de 0 a 2:
V = ( 2(2)^2 - (2)^44 ) - ( 2(0)^2 - (0)^44 ) = ( 8 - 164 ) - 0 = 8 - 4 = 4

Resposta

O volume do sólido é $ 4 $ unidades cúbicas.

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