Determine o volume do sólido
delimitado pelas curvas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido definido pela superfície $ z = x + 2 $ e limitado pelas curvas $ x = \sqrt{y} $ e $ y = 2x $. Isso envolve um pouco de geometria analítica e cálculo integral, mais especificamente integrais duplas para calcular volumes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as curvas que delimitam a região. Temos $ x = \sqrt{y} $ e $ y = 2x $. Para visualizar melhor, vamos reescrever $ x = \sqrt{y} $ como $ y = x^2 $. Agora, temos duas curvas: $ y = x^2 $ (uma parábola) e $ y = 2x $ (uma reta). Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas para saber os limites de integração.
Passo 3
Igualando as duas expressões para $ y $:
Subtraindo $ 2x $ de ambos os lados:
Fatorando:
Então, as soluções são $ x = 0 $ e $ x = 2 $. Portanto, a região de integração em $ x $ vai de 0 a 2.
Passo 4
Agora, para cada valor de $ x $ entre 0 e 2, $ y $ varia de $ y = x^2 $ até $ y = 2x $. Então, nossos limites de integração para $ y $ são de $ x^2 $ a $ 2x $.
Passo 5
Para calcular o volume sob a superfície $ z = x + 2 $ e acima da região $ D $ delimitada pelas curvas, usamos a integral dupla:
Substituindo os limites que encontramos:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a $ y $:
Isso simplifica para:
Passo 7
Agora, substituímos de volta na integral externa:
Vamos integrar termo a termo:
Então:
Passo 8
Calculando nos limites de 0 a 2:
Resposta
O volume do sólido é $ 4 $ unidades cúbicas.