Calcule o limite:
lim (x, y) (1,1) raiz[5]x y-1raiz[3]x y-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
lim(x,y)to(1,1) raiz[5]xy-1raiz[3]xy-1
Estamos lidando com limite de função de duas variáveis e, como o numerador e o denominador tendem a zero quando (x,y)to(1,1), vamos usar a ideia de reduzir a uma variável e depois aplicar a regra de l’Hôpital.

Passo 2

Quando (x,y)to(1,1), o produto t=xy tende a 1. Definimos
h(t)=t^1/5-1,
k(t)=t^1/3-1
Assim o limite vira
$$\lim_{(x,y)\to(1,1)} \frac{\sqrt[5]{xy}-1}{\sqrt[3]{xy}-1}
= \lim_{t\to1} \frac{h(t)}{k(t)}.$$
Aqui lim(x,y)to(1,1) raiz[5]xy-1raiz[3]xy-1 = limtto1 h(t)k(t), ou seja, forma indeterminada h(1)=k(1)=0, então podemos aplicar l’Hôpital.

Passo 3

Pela regra de l’Hôpital, derivamos h e k em relação a t. Sabendo que a derivada de t^alpha é alpha,t^alpha-1, temos
h'(t)=15,t^-4/5,
k'(t)=13,t^-2/3
Logo o limite transforma-se em
limtto1h'(t)k'(t)

Passo 4

Agora basta calcular
h'(t)k'(t)=15t^-4/513t^-2/3=1/51/3,t^-4/5+2/3 = 35,t^-2/15
Como tto1, temos t^-2/15to1. Portanto o limite vale 3/5.

Resposta

3/5

Exercícios relacionados