Calcule o limite:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Estamos lidando com limite de função de duas variáveis e, como o numerador e o denominador tendem a zero quando
Passo 2
Quando
, o produto
tende a 1. Definimos
Assim o limite vira
$$\lim_{(x,y)\to(1,1)} \frac{\sqrt[5]{xy}-1}{\sqrt[3]{xy}-1}
= \lim_{t\to1} \frac{h(t)}{k(t)}.$$
Aqui , ou seja, forma indeterminada
, então podemos aplicar l’Hôpital.
Aqui
Passo 3
Pela regra de l’Hôpital, derivamos
e
em relação a
. Sabendo que a derivada de
é
, temos
Logo o limite transforma-se em
Passo 4
Agora basta calcular
Como