Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração:
g) integral-1^1 integral-2|x|^|x| e^x+y d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada integral-1^1integral-2|x|^|x|e^x+y,dy,dx e esboçar a região (x,y):xin[-1,1],,-2|x|<= y<=|x|. Vamos usar propriedades de integrais iteradas e dividir o intervalo de x por causa de |x|.

Passo 2

Para um x fixo, note que e^x+y=e^x,e^y. Assim
integral-2|x|^|x|e^x+y,dy = e^xintegral-2|x|^|x|e^y,dy = e^xl[e^yr]y=-2|x|^y=|x| = e^xl(e^|x|-e^-2|x|r) = e^x+|x|-e^x-2|x|

Passo 3

Para remover o valor absoluto, quebramos a integral em dois pedaços:
integral-1^1(e^x+|x|-e^x-2|x|),dx = integral-1^0(1-e^3x),dx + integral0^1(e^2x-e^-x),dx, porque se x<0 temos x+|x|=0 e x-2|x|=3x, e se x>=0 temos x+|x|=2x e x-2|x|=-x.

Passo 4

Calcule a parte de xin[-1,0]:
integral-1^0(1-e^3x),dx = l[x-tfrac13e^3xr]-1^0 = l(0-tfrac13r)-l(-1-tfrac13e^-3r) = tfrac23+tfrac13e^-3

Passo 5

Calcule a parte de xin[0,1]:
integral0^1(e^2x-e^-x),dx = l[tfrac12e^2x+e^-xr]0^1 = l(tfrac12e^2+e^-1r)-l(tfrac12+1r) = tfrac12e^2+e^-1-tfrac32

Passo 6

Somando as duas partes obtemos
tfrac23+tfrac13e^-3+tfrac12e^2+e^-1-tfrac32 = tfrac12e^2+e^-1+tfrac13e^-3-tfrac56

Passo 7

O esboço da região mostra, no plano xy, duas “V”: a linha superior y=|x| e a linha inferior y=-2|x|, para x variando de -1 a 1.

Resposta

tfrac12e^2 + e^-1 + tfrac13e^-3 - tfrac56

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