Questão 6. Determine os seguintes valores dos limites abaixo.
lim x 1 arcsin (1-raizx1-x)

Passo 1

Estamos lidando com um limite de uma função composta envolvendo arcsin. Precisamos primeiro encontrar o limite interno 1-raizx1-x quando xto1, e depois usar a continuidade de arcsin para obter o resultado final.

Passo 2

Para calcular limxto11-raizx1-x, notamos que tanto o numerador quanto o denominador vão a zero, então podemos aplicar a Regra de L’Hôpital. Derivando numerador e denominador:
O numerador é 1-raizx. Sua derivada em relação a x é -tfrac12raizx. O denominador 1-x tem derivada -1. Assim,
limxto11-raizx1-x=limxto1-tfrac12raizx-1=limxto112raizx=12

Passo 3

Agora usamos a continuidade de arcsin. Como arcsin é contínua no ponto tfrac12, temos
limxto1arcsinl(1-raizx1-xr)=arcsinl(limxto11-raizx1-xr)=arcsinl(tfrac12r)

Passo 4

Por fim, lembrando que arcsin(tfrac12)=tfracpi6, chegamos ao valor do limite.

Resposta

tfracpi6

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