Determine o volume dos sólidos
descritos abaixo:
é limitado pelo cilindro
e pelos planos
e
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar o volume do sólido
que é limitado pelo cilindro
e pelos planos
e
. Para resolver este problema, vamos utilizar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais triplas, que nos permitem calcular volumes de regiões tridimensionais.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar as restrições que definem o sólido
:
-
Cilindro
: Este é um cilindro parabólico que se estende ao longo do eixo , com a parábola no plano . -
Planos
e : O plano é o plano , e o plano inclina-se em relação ao eixo , limitando a parte superior do sólido.
Passo 3
Para calcular o volume, vamos definir os limites de integração para as variáveis
,
e
:
-
Para
: O cilindro nos mostra que varia de até , já que e . -
Para
: Para cada , varia de até , pois . -
Para
: varia de até , conforme definido pelo plano .
Passo 4
Agora, configuramos a integral tripla para calcular o volume
:
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo:
- Integral em
:
- Integral em
:
- Integral em
:
Passo 6
Resolvendo a integral final:
Resposta
O volume do sólido
é
unidades cúbicas.