Determine o volume dos sólidos S descritos abaixo:
S é limitado pelo cilindro x=y^2 e pelos planos z=0 e x+z=1.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar o volume do sólido S que é limitado pelo cilindro x = y^2 e pelos planos z = 0 e x + z = 1 . Para resolver este problema, vamos utilizar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais triplas, que nos permitem calcular volumes de regiões tridimensionais.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as restrições que definem o sólido S :
  1. Cilindro x = y^2 : Este é um cilindro parabólico que se estende ao longo do eixo x , com a parábola y^2 = x no plano z = 0 .
  2. Planos z = 0 e x + z = 1 : O plano z = 0 é o plano xy , e o plano x + z = 1 inclina-se em relação ao eixo x , limitando a parte superior do sólido.

Passo 3

Para calcular o volume, vamos definir os limites de integração para as variáveis x , y e z :
  • Para x : O cilindro x = y^2 nos mostra que x varia de 0 até 1 , já que x + z = 1 e z >= 0 .
  • Para y : Para cada x , y varia de -raizx até raizx , pois y^2 = x .
  • Para z : z varia de 0 até 1 - x , conforme definido pelo plano x + z = 1 .

Passo 4

Agora, configuramos a integral tripla para calcular o volume V :
V = integralx=0^1 integraly=-raizx^raizx integralz=0^1 - x dz , dy , dx

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo:
  1. Integral em z :
integral0^1 - x dz = (1 - x)
  1. Integral em y :
integral-raizx^raizx (1 - x) , dy = (1 - x) times ( raizx - (-raizx) ) = 2 raizx (1 - x)
  1. Integral em x :
V = integral0^1 2 raizx (1 - x) , dx = 2 integral0^1 ( raizx - x^3/2 ) dx

Passo 6

Resolvendo a integral final:
2 integral0^1 ( x^1/2 - x^3/2 ) dx = 2 [ 23 x^3/2 - 25 x^5/2 ]0^1 = 2 ( 23 - 25 ) = 2 ( 10 - 615 ) = 2 times 415 = 815

Resposta

O volume do sólido S é 815 unidades cúbicas.

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