Determine o volume dos sólidos S descritos abaixo:
S=(x, y, z) in R^3 ; x^2+y^2+z^2 <= 1 e z^2 <= x^2+y^2

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos o volume do sólido
S=(x,y,z)inR^3mid x^2+y^2+z^2<=1,;z^2<= x^2+y^2.
O conteúdo principal aqui é usar coordenadas esféricas e fazer uma integral tripla.

Passo 2

Em coordenadas esféricas definidas por rho>=0, 0<=phi<=pi, 0<=theta<2pi, temos
x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi,
o jacobiano é rho^2sinphi e a condição z^2<= x^2+y^2 vira
rho^2cos^2phi<=rho^2sin^2phi ;Long<=ftrightarrow; cos^2phi<=sin^2phi ;Long<=ftrightarrow; tan^2phi>=1 ;Long<=ftrightarrow; phiinl[tfracpi4,tfrac3pi4r]

Passo 3

Montamos a integral de volume como
V=integraltheta=0^2piintegralphi=pi/4^3pi/4integralrho=0^1rho^2sinphi ,drho,dphi,dtheta
Como as integrais separam, temos
integral0^1rho^2,drho=tfrac13, integral0^2pidtheta=2pi,
deixando
V=2pi3integralpi/4^3pi/4sinphi,dphi

Passo 4

Calculamos a integral em phi:
integralpi/4^3pi/4sinphi,dphi =[-cosphi]pi/4^3pi/4 =-cos!tfrac3pi4+cos!tfracpi4 =-l(-tfracraiz22r)+tfracraiz22 =raiz2

Passo 5

Substituindo em V obtemos
V=2pi3,raiz2 =2raiz2pi3

Resposta

V = 2raiz2pi3

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