Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento e esboce o gráfico (calcule para isto todos os limites necessários).
f(x)=e^-x^2

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=e^-x^2
definida para todo xinR e pede os intervalos de crescimento e decrescimento, além do esboço do gráfico. Para isso vamos precisar calcular a derivada para teste de monotonicidade e os limites em xtopminfty para entender o comportamento nas extremidades.

Passo 2

Calculamos a derivada de f usando a regra da cadeia:
f'(x)=ddxl(e^-x^2r) =e^-x^2cdotddx(-x^2) =e^-x^2cdot(-2x) =-2x,e^-x^2
O único ponto crítico (além da continuidade) é x=0, pois aí f'(0)=0.

Passo 3

Analisamos o sinal de f'(x)=-2x,e^-x^2:
  • Para x<0, temos -2x>0 e e^-x^2>0, logo f'(x)>0.
  • Para x>0, temos -2x<0 e e^-x^2>0, logo f'(x)<0.
    Portanto, f cresce em (-infty,0) e decresce em (0,infty).

Passo 4

Calculamos os limites em pminfty para completar o esboço:
limxto+inftye^-x^2 =0, limxto-inftye^-x^2 =0
E no ponto crítico x=0:
f(0)=e^0=1,
que é o valor máximo global.

Passo 5

Como f(x)=e^-x^2 é função par, o gráfico é simétrico em relação ao eixo y. Ele atinge o máximo f(0)=1 em x=0, cresce até aí vindo da esquerda e decresce depois, tendendo a zero quando xtopminfty. O formato é o conhecido “sino” da gaussiana sem fator de normalização.

Resposta

Intervalos de crescimento: (-infty,0)
Intervalos de decrescimento: (0,infty)
Limites:
limxtopminftyf(x)=0, f(0)=1
Gráfico: campanário simétrico com pico em (0,1) e cauda tendendo a zero.

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