Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento e esboce o gráfico (calcule para isto todos os limites necessários).
Passo 1
O enunciado dá a função
definida para todo
e pede os intervalos de crescimento e decrescimento, além do esboço do gráfico. Para isso vamos precisar calcular a derivada para teste de monotonicidade e os limites em
para entender o comportamento nas extremidades.
Passo 2
Calculamos a derivada de
usando a regra da cadeia:
O único ponto crítico (além da continuidade) é
, pois aí
.
Passo 3
Analisamos o sinal de
:
- Para
, temos e , logo . - Para
, temos e , logo .
Portanto,cresce em e decresce em .
Passo 4
Calculamos os limites em
para completar o esboço:
E no ponto crítico
:
que é o valor máximo global.
Passo 5
Como
é função par, o gráfico é simétrico em relação ao eixo
. Ele atinge o máximo
em
, cresce até aí vindo da esquerda e decresce depois, tendendo a zero quando
. O formato é o conhecido “sino” da gaussiana sem fator de normalização.
Resposta
Intervalos de crescimento:
Intervalos de decrescimento:
Limites:
,
Gráfico: campanário simétrico com pico em e cauda tendendo a zero.
Intervalos de decrescimento:
Limites:
Gráfico: campanário simétrico com pico em