Determine o volume dos sólidos descritos a seguir. Abaixo do parabolóide elíptico
e acima do quadrado
no plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para encontrar o volume de um sólido que está abaixo de um parabolóide elíptico dado e acima de um quadrado no plano XY. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, que nos ajudam a calcular volumes sob superfícies sobre regiões planas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a equação do parabolóide elíptico:
. Queremos expressar
em termos de
e
para facilitar a integração. Isso nos dará a “altura” da superfície em cada ponto
.
Passo 3
Vamos isolar
na equação do parabolóide:
Agora temos
em função de
e
, o que é perfeito para configurar a integral dupla.
Passo 4
O próximo passo é definir a região de integração, que é o quadrado
no plano XY. Isso significa que
varia de -1 a 1 e, para cada
,
também varia de -1 a 1.
Passo 5
Agora, configuramos a integral dupla que representa o volume
:
Vamos integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 6
Vamos calcular a integral interna em relação a
:
Calculando os limites:
Simplificando:
Passo 7
Agora, integramos essa expressão em relação a
:
Integrando:
Calculando os limites:
Para somar essas frações, vamos encontrar um denominador comum, que é 27:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.