Determine o volume dos sólidos descritos a seguir. Abaixo do parabolóide elíptico x^2/4 + y^2/9 + z = 1 e acima do quadrado R = [-1, 1] x [-1, 1] no plano x y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para encontrar o volume de um sólido que está abaixo de um parabolóide elíptico dado e acima de um quadrado no plano XY. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, que nos ajudam a calcular volumes sob superfícies sobre regiões planas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a equação do parabolóide elíptico: . Queremos expressar em termos de e para facilitar a integração. Isso nos dará a “altura” da superfície em cada ponto .

Passo 3

Vamos isolar na equação do parabolóide:
Agora temos em função de e , o que é perfeito para configurar a integral dupla.

Passo 4

O próximo passo é definir a região de integração, que é o quadrado no plano XY. Isso significa que varia de -1 a 1 e, para cada , também varia de -1 a 1.

Passo 5

Agora, configuramos a integral dupla que representa o volume :
Vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 6

Vamos calcular a integral interna em relação a :
Calculando os limites:
Simplificando:

Passo 7

Agora, integramos essa expressão em relação a :
Integrando:
Calculando os limites:
Para somar essas frações, vamos encontrar um denominador comum, que é 27:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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