Esboce o gráfico de uma função f que satisfaça todas as condições dadas:
lim x 2 f(x)=-infty, lim x infty f(x)=infty, lim x -infty f(x)=0, lim x 0^+ f(x)=infty e lim x 0^- f(x)=0.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que desenhar o gráfico de uma função que satisfaça várias condições de limite em pontos específicos. Isso envolve conceitos de limites, assíntotas verticais e horizontais e comportamento da função em diferentes intervalos. Para resolver isso, vamos analisar cada condição de limite uma por uma e ver como elas influenciam o gráfico da função.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para . Isso significa que quando se aproxima de 2, a função cresce negativamente sem limites. Geralmente, isso ocorre quando há uma assíntota vertical em . Então, sabemos que nosso gráfico terá uma linha vertical em onde a função desce para menos infinito de ambos os lados.

Passo 3

Agora, consideramos . Isso indica que quando se torna muito grande positivamente, a função também cresce sem limites. Isso sugere que o gráfico do lado direito tende para cima à medida que nos movemos para a direita.

Passo 4

Em seguida, temos . Isso mostra que quando se torna muito grande negativamente, a função se aproxima de zero. Nesse caso, há uma assíntota horizontal em à esquerda do gráfico.

Passo 5

Vamos analisar e . Isso significa que quando se aproxima de 0 pela direita, a função cresce sem limites, enquanto pela esquerda, ela se aproxima de zero. Então, há um comportamento assimptótico diferente em , com o gráfico subindo para cima à direita de 0 e se aproximando do eixo pela esquerda.

Passo 6

Com todas essas informações, podemos começar a esboçar o gráfico:
  1. Assíntota Vertical em : A função desce para menos infinito de ambos os lados.
  2. Assíntota Horizontal em para : O gráfico se aproxima do eixo à esquerda.
  3. Comportamento para : O gráfico sobe para cima à direita.
  4. Comportamento em torno de : À direita de 0, a função sobe para cima; à esquerda, se aproxima de zero.

Resposta

Com base nas análises realizadas, o gráfico da função f(x) = -1x(x - 2) terá uma assíntota vertical em onde a função desce para menos infinito de ambos os lados. Para tendendo a , o gráfico sobe para cima, e para tendendo a , ele se aproxima do eixo . Além disso, em torno de , a função sobe para à direita e se aproxima de zero à esquerda. Um exemplo de função que satisfaz todas essas condições é:
Esse tipo de função racional cumpre todos os limites especificados na questão.

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