Esboce o gráfico de uma função
que satisfaça todas as condições dadas:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que desenhar o gráfico de uma função
que satisfaça várias condições de limite em pontos específicos. Isso envolve conceitos de limites, assíntotas verticais e horizontais e comportamento da função em diferentes intervalos. Para resolver isso, vamos analisar cada condição de limite uma por uma e ver como elas influenciam o gráfico da função.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para
. Isso significa que quando
se aproxima de 2, a função cresce negativamente sem limites. Geralmente, isso ocorre quando há uma assíntota vertical em
. Então, sabemos que nosso gráfico terá uma linha vertical em
onde a função desce para menos infinito de ambos os lados.
Passo 3
Agora, consideramos
. Isso indica que quando
se torna muito grande positivamente, a função também cresce sem limites. Isso sugere que o gráfico do lado direito tende para cima à medida que nos movemos para a direita.
Passo 4
Em seguida, temos
. Isso mostra que quando
se torna muito grande negativamente, a função se aproxima de zero. Nesse caso, há uma assíntota horizontal em
à esquerda do gráfico.
Passo 5
Vamos analisar
e
. Isso significa que quando
se aproxima de 0 pela direita, a função cresce sem limites, enquanto pela esquerda, ela se aproxima de zero. Então, há um comportamento assimptótico diferente em
, com o gráfico subindo para cima à direita de 0 e se aproximando do eixo
pela esquerda.
Passo 6
Com todas essas informações, podemos começar a esboçar o gráfico:
- Assíntota Vertical em
: A função desce para menos infinito de ambos os lados. - Assíntota Horizontal em
para : O gráfico se aproxima do eixo à esquerda. - Comportamento para
: O gráfico sobe para cima à direita. - Comportamento em torno de
: À direita de 0, a função sobe para cima; à esquerda, se aproxima de zero.
Resposta
Com base nas análises realizadas, o gráfico da função
terá uma assíntota vertical em
onde a função desce para menos infinito de ambos os lados. Para
tendendo a
, o gráfico sobe para cima, e para
tendendo a
, ele se aproxima do eixo
. Além disso, em torno de
, a função sobe para
à direita e se aproxima de zero à esquerda. Um exemplo de função que satisfaz todas essas condições é:
Esse tipo de função racional cumpre todos os limites especificados na questão.