Considere a integral
. Calcule a integral nas duas ordens de integração.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral dupla
. O que essa questão está pedindo é para calcular essa integral nas duas ordens de integração, ou seja, primeiro integrando em relação a
e depois a
, e depois fazendo o contrário. Para isso, vamos precisar entender como funcionam as integrais duplas e como podemos mudar a ordem de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a integral na ordem dada: integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
.
A integral é:
Aqui, tratamos
como uma constante ao integrar em relação a
.
Passo 3
Vamos integrar
em relação a
. Como
é constante em relação a
, a integral de
em relação a
é:
onde
é a constante de integração, que vamos ignorar porque estamos calculando uma integral definida.
Passo 4
Agora, avaliamos essa antiderivada de
até
:
Então, a integral interna se torna:
Passo 5
Agora, vamos integrar em relação a
:
Passo 6
Avaliamos essa antiderivada de
até
:
Passo 7
Agora, vamos calcular a integral na ordem inversa: primeiro integrar em relação a
e depois em relação a
. Para isso, precisamos entender os limites de integração.
Originalmente, temos
e, para cada
,
. Se mudarmos a ordem, para cada
,
.
Então, a integral fica:
Passo 8
Vamos integrar
em relação a
. Aqui,
é constante em relação a
:
Passo 9
Avaliamos essa antiderivada de
até
:
Então, a integral interna se torna:
Passo 10
Agora, vamos integrar em relação a
:
Passo 11
Avaliamos essa antiderivada de
até
:
Resposta
A integral dupla
calculada nas duas ordens de integração resulta em
.