Considere a integral integral0^1 integralx^1 x y d y d x. Calcule a integral nas duas ordens de integração.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla integral0^1 integralx^1 x y , dy , dx. O que essa questão está pedindo é para calcular essa integral nas duas ordens de integração, ou seja, primeiro integrando em relação a y e depois a x, e depois fazendo o contrário. Para isso, vamos precisar entender como funcionam as integrais duplas e como podemos mudar a ordem de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a integral na ordem dada: integrar primeiro em relação a y e depois em relação a x.
A integral é:
integral0^1 ( integralx^1 x y , dy ) dx
Aqui, tratamos x como uma constante ao integrar em relação a y.

Passo 3

Vamos integrar x y em relação a y. Como x é constante em relação a y, a integral de x y em relação a y é:
integral x y , dy = x cdot y^22 + C
onde C é a constante de integração, que vamos ignorar porque estamos calculando uma integral definida.

Passo 4

Agora, avaliamos essa antiderivada de y = x até y = 1:
x cdot 1^22 - x cdot x^22 = x2 - x^32
Então, a integral interna se torna:
integral0^1 ( x2 - x^32 ) dx

Passo 5

Agora, vamos integrar em relação a x:
integral ( x2 - x^32 ) dx = 12 cdot x^22 - 12 cdot x^44 + C = x^24 - x^48 + C

Passo 6

Avaliamos essa antiderivada de x = 0 até x = 1:
( 1^24 - 1^48 ) - ( 0^24 - 0^48 ) = 14 - 18 = 18

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral na ordem inversa: primeiro integrar em relação a x e depois em relação a y. Para isso, precisamos entender os limites de integração.
Originalmente, temos 0 <= x <= 1 e, para cada x, x <= y <= 1. Se mudarmos a ordem, para cada y, 0 <= x <= y.
Então, a integral fica:
integral0^1 ( integral0^y x y , dx ) dy

Passo 8

Vamos integrar x y em relação a x. Aqui, y é constante em relação a x:
integral x y , dx = y cdot x^22 + C

Passo 9

Avaliamos essa antiderivada de x = 0 até x = y:
y cdot y^22 - y cdot 0^22 = y^32
Então, a integral interna se torna:
integral0^1 y^32 , dy

Passo 10

Agora, vamos integrar em relação a y:
integral y^32 , dy = 12 cdot y^44 + C = y^48 + C

Passo 11

Avaliamos essa antiderivada de y = 0 até y = 1:
1^48 - 0^48 = 18

Resposta

A integral dupla integral0^1 integralx^1 x y , dy , dx calculada nas duas ordens de integração resulta em 18.

Exercícios relacionados