Integre a função f(x, y) = x - y no triângulo de vértices (0,0), (0,1) e (2,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral da função sobre um triângulo definido pelos pontos , e . Isso envolve usar integração múltipla, especificamente uma integral dupla, para encontrar a área sob a superfície dessa função dentro do triângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região onde vamos integrar. O triângulo tem vértices em , e . Isso significa que a base do triângulo está no eixo entre e , e a altura vai do ponto até .
Para configurar a integral dupla, precisamos expressar os limites de e . Observando o triângulo, para cada valor de entre 0 e 2, varia de 0 até uma linha que conecta a . Nesse caso, como a parte superior do triângulo é horizontal em , os limites de são de 0 a 1.

Passo 3

Agora, vamos escrever a integral dupla com os limites que definimos:
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a de 0 a 1, e depois em relação a de 0 a 2.

Passo 4

Vamos resolver a integral interna, que é a de :
Integrando termo a termo:
Agora, avaliamos de 0 a 1:

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Integrando em relação a :
Avaliando de 0 a 2:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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