Integre a função
no triângulo de vértices
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral da função
sobre um triângulo definido pelos pontos
,
e
. Isso envolve usar integração múltipla, especificamente uma integral dupla, para encontrar a área sob a superfície dessa função dentro do triângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região onde vamos integrar. O triângulo tem vértices em
,
e
. Isso significa que a base do triângulo está no eixo
entre
e
, e a altura vai do ponto
até
.
Para configurar a integral dupla, precisamos expressar os limites de
e
. Observando o triângulo, para cada valor de
entre 0 e 2,
varia de 0 até uma linha que conecta
a
. Nesse caso, como a parte superior do triângulo é horizontal em
, os limites de
são de 0 a 1.
Passo 3
Agora, vamos escrever a integral dupla com os limites que definimos:
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a
de 0 a 1, e depois em relação a
de 0 a 2.
Passo 4
Vamos resolver a integral interna, que é a de
:
Integrando termo a termo:
Agora, avaliamos de 0 a 1:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Integrando em relação a
:
Avaliando de 0 a 2:
Resposta
O valor da integral dupla é
.