Determine o volume dos sólidos obtidos pela rotação em torno do Eixo
da região
delimitada pelos gráficos das equações dadas:
e
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A missão aqui é encontrar o volume de um sólido que resulta da rotação de uma região $ S $ em torno do eixo $ y $. A região $ S $ é delimitada pelas curvas $ x = y^{2} + 1 $, $ x = \frac{1}{2} $, $ y = -2 $ e $ y = 2 $. Para isso, vamos usar o cálculo integral, especificamente o método dos discos ou das cascas cilíndricas para volumes de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as curvas que delimitam a região $ S $. A equação $ x = y^{2} + 1 $ representa uma parábola que abre para a direita, deslocada 1 unidade para a direita no eixo $ x $. A linha $ x = \frac{1}{2} $ é uma linha vertical que corta a parábola. Os limites $ y = -2 $ e $ y = 2 $ definem a altura da região que estamos girando.
Passo 3
Para visualizar melhor, vamos esboçar as curvas:
- $ x = y^{2} + 1 $: uma parábola aberta para a direita.
- $ x = \frac{1}{2} $: uma linha vertical à esquerda da parábola.
- $ y = -2 $ e $ y = 2 $: linhas horizontais que cortam a parábola.
A região $ S $ é o espaço entre $ x = \frac{1}{2} $ e $ x = y^{2} + 1 $, desde $ y = -2 $ até $ y = 2 $.
Passo 4
Como vamos girar essa região em torno do eixo $ y $, o método dos discos (ou anéis) é apropriado. A fórmula para o volume usando esse método é:
Onde:
- $ R(y) $ é o raio externo (a distância do eixo de rotação até a curva externa).
- $ r(y) $ é o raio interno (a distância do eixo de rotação até a curva interna).
- $ a $ e $ b $ são os limites de integração, que neste caso são $ y = -2 $ e $ y = 2 $.
Passo 5
Vamos identificar $ R(y) $ e $ r(y) $:
- A curva externa é $ x = y^{2} + 1 $, então $ R(y) = y^{2} + 1 $.
- A curva interna é $ x = \frac{1}{2} $, então $ r(y) = \frac{1}{2} $.
Passo 6
Agora, substituímos esses valores na fórmula do volume:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 7
Como a função $ y^{4} + 2y^{2} + \frac{3}{4} $ é par (simétrica em relação ao eixo $ y $), podemos simplificar a integração de $ -2 $ a $ 2 $ para duas vezes a integração de $ 0 $ a $ 2 $:
Passo 8
Vamos agora calcular a integral:
Avaliado de $ 0 $ a $ 2 $:
Passo 9
Vamos somar essas frações:
Passo 10
Multiplicando pelo $ 2\pi $:
Resposta
O volume do sólido obtido pela rotação da região $ S $ em torno do eixo $ y $ é $ \frac{397\pi}{15} $ unidades cúbicas.