Determine o volume dos sólidos obtidos pela rotação em torno do Eixo y da região S delimitada pelos gráficos das equações dadas:
x=y^2+1, x=12, y=-2 e y=2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A missão aqui é encontrar o volume de um sólido que resulta da rotação de uma região $ S $ em torno do eixo $ y $. A região $ S $ é delimitada pelas curvas $ x = y^{2} + 1 $, $ x = \frac{1}{2} $, $ y = -2 $ e $ y = 2 $. Para isso, vamos usar o cálculo integral, especificamente o método dos discos ou das cascas cilíndricas para volumes de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as curvas que delimitam a região $ S $. A equação $ x = y^{2} + 1 $ representa uma parábola que abre para a direita, deslocada 1 unidade para a direita no eixo $ x $. A linha $ x = \frac{1}{2} $ é uma linha vertical que corta a parábola. Os limites $ y = -2 $ e $ y = 2 $ definem a altura da região que estamos girando.

Passo 3

Para visualizar melhor, vamos esboçar as curvas:
  • $ x = y^{2} + 1 $: uma parábola aberta para a direita.
  • $ x = \frac{1}{2} $: uma linha vertical à esquerda da parábola.
  • $ y = -2 $ e $ y = 2 $: linhas horizontais que cortam a parábola.
A região $ S $ é o espaço entre $ x = \frac{1}{2} $ e $ x = y^{2} + 1 $, desde $ y = -2 $ até $ y = 2 $.

Passo 4

Como vamos girar essa região em torno do eixo $ y $, o método dos discos (ou anéis) é apropriado. A fórmula para o volume usando esse método é:
y
Onde:
  • $ R(y) $ é o raio externo (a distância do eixo de rotação até a curva externa).
  • $ r(y) $ é o raio interno (a distância do eixo de rotação até a curva interna).
  • $ a $ e $ b $ são os limites de integração, que neste caso são $ y = -2 $ e $ y = 2 $.

Passo 5

Vamos identificar $ R(y) $ e $ r(y) $:
  • A curva externa é $ x = y^{2} + 1 $, então $ R(y) = y^{2} + 1 $.
  • A curva interna é $ x = \frac{1}{2} $, então $ r(y) = \frac{1}{2} $.

Passo 6

Agora, substituímos esses valores na fórmula do volume:
V = pi integral-2^2 [ (y^2 + 1)^2 - (12)^2 ] dy
Simplificando a expressão dentro da integral:
(y^2 + 1)^2 = y^4 + 2y^2 + 1
(12)^2 = 14
V = pi integral-2^2 [ y^4 + 2y^2 + 1 - 14 ] dy = pi integral-2^2 [ y^4 + 2y^2 + 34 ] dy

Passo 7

Como a função $ y^{4} + 2y^{2} + \frac{3}{4} $ é par (simétrica em relação ao eixo $ y $), podemos simplificar a integração de $ -2 $ a $ 2 $ para duas vezes a integração de $ 0 $ a $ 2 $:
y^4 + 2y^2 + 34

Passo 8

Vamos agora calcular a integral:
integral [ y^4 + 2y^2 + 34 ] dy = y^55 + 2y^33 + 34y + C
Avaliado de $ 0 $ a $ 2 $:
0

Passo 9

Vamos somar essas frações:
325 + 163 + 32 = 32 cdot 630 + 16 cdot 1030 + 3 cdot 1530 = 19230 + 16030 + 4530 = 39730

Passo 10

Multiplicando pelo $ 2\pi $:
2pi

Resposta

O volume do sólido obtido pela rotação da região $ S $ em torno do eixo $ y $ é $ \frac{397\pi}{15} $ unidades cúbicas.

Exercícios relacionados