Inverta a ordem de integração.
.
Passo 1
O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral
. O conteúdo é duplas integrais e vamos precisar determinar a região de integração no plano
e depois trocar as integrais.
Passo 2
Primeiro, identificamos a região
. As curvas que limitam
são
(reta passando por
e
) e
(reta passando por
e
).
Para encontrar o intervalo de , observe que, quando
,
varia de 0 a 1, e quando
,
vale 2. Assim, globalmente,
varia de 0 até 2.
Para encontrar o intervalo de
Passo 3
Para cada
fixo, as condições
e
viram
e
, junto com
. Logo,
- a cota inferior de
é - a cota superior de
é .
Passo 4
Precisamos ver onde essas fórmulas mudam de forma. Para
temos
e
, então
. Para
temos
e ainda
, então
.
Portanto, invertendo a ordem, a integral fica como a soma de duas integrais em :
Portanto, invertendo a ordem, a integral fica como a soma de duas integrais em
Resposta
$$\int_{0}{1}\int_{0}{y/2}f(x,y),dx,dy;+
;\int_{1}{2}\int_{y-1}{y/2}f(x,y),dx,dy.$$