Inverta a ordem de integração. integral0^1[integral2 x^x+1 f(x, y) d y] d x.

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral integral0^1gl[integral2x^x+1f(x,y),dygr]dx. O conteúdo é duplas integrais e vamos precisar determinar a região de integração no plano (x,y) e depois trocar as integrais.

Passo 2

Primeiro, identificamos a região D=(x,y):0<= x<=1,;2x<= y<= x+1. As curvas que limitam D são y=2x (reta passando por (0,0) e (1,2)) e y=x+1 (reta passando por (0,1) e (1,2)).
Para encontrar o intervalo de y, observe que, quando x=0, y varia de 0 a 1, e quando x=1, y vale 2. Assim, globalmente, y varia de 0 até 2.

Passo 3

Para cada y fixo, as condições 2x<= y e y<= x+1 viram x<= y/2 e x>= y-1, junto com 0<= x<=1. Logo,
  • a cota inferior de x é max(0,,y-1)
  • a cota superior de x é min(1,,y/2).

Passo 4

Precisamos ver onde essas fórmulas mudam de forma. Para 0<= y<=1 temos y-1<=0 e y/2<=1, então xin[0,,y/2]. Para 1<= y<=2 temos y-1>=0 e ainda y/2<=1, então xin[y-1,,y/2].
Portanto, invertendo a ordem, a integral fica como a soma de duas integrais em y:

Resposta

$$\int_{0}{1}\int_{0}{y/2}f(x,y),dx,dy;+
;\int_{1}{2}\int_{y-1}{y/2}f(x,y),dx,dy.$$

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