Utilizando a técnica de cascas cilindricas, calcule o volume dos sólidos obtidos pela rotação ao longo do Eixo
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra calcular o volume de um sólido que é formado quando a região limitada pelas curvas $ x = y^{2} $, $ x = 1 $ e $ x = 0 $ é girada em torno do eixo $ x $. Para isso, vamos usar a técnica das cascas cilíndricas, que é uma forma de calcular volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região que estamos girando. As curvas $ x = y^{2} $ é uma parábola que abre para a direita, e as retas $ x = 1 $ e $ x = 0 $ são verticais. A interseção dessas curvas ocorre quando $ y^{2} = 1 $, ou seja, $ y = 1 $ e $ y = -1 $. Então, nossa região vai de $ y = -1 $ a $ y = 1 $.
Passo 3
A técnica das cascas cilíndricas envolve integrar ao longo do eixo perpendicular ao de rotação. Como estamos girando em torno do eixo $ x $, vamos integrar em relação a $ y $. A fórmula para o volume usando cascas cilíndricas é:
Aqui, $ L(y) $ é o comprimento da casca em cada valor de $ y $.
Passo 4
Vamos determinar $ L(y) $. No nosso caso, o comprimento da casca é a distância entre as curvas que limitam a região na direção do eixo $ x $. Temos $ x = y^{2} $ e $ x = 1 $. Então, $ L(y) = 1 - y^{2} $.
Passo 5
Agora, substituímos $ L(y) $ na fórmula do volume:
Mas, observamos que a função $ y \cdot (1 - y^{2}) $ é uma função ímpar, ou seja, ela é simétrica em relação à origem. Como estamos integrando de $ -1 $ a $ 1 $, o resultado será zero. Isso não faz sentido para um volume, então percebemos que precisamos ajustar nossa abordagem.
Passo 6
Acontece que, ao girar em torno do eixo $ x $, a posição $ y $ acima e abaixo do eixo contribui positivamente para o volume. Para simplificar, podemos integrar apenas de $ 0 $ a $ 1 $ e multiplicar por 2:
Passo 7
Vamos resolver a integral:
Substituindo os limites:
Passo 8
Agora, multiplicamos o resultado da integral pelo $ 4\pi $:
Resposta
O volume do sólido formado é $ \pi $ unidades cúbicas.