Utilizando a técnica de cascas cilindricas, calcule o volume dos sólidos obtidos pela rotação ao longo do Eixo x.
x=y^2, x=1 e x=0;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra calcular o volume de um sólido que é formado quando a região limitada pelas curvas $ x = y^{2} $, $ x = 1 $ e $ x = 0 $ é girada em torno do eixo $ x $. Para isso, vamos usar a técnica das cascas cilíndricas, que é uma forma de calcular volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que estamos girando. As curvas $ x = y^{2} $ é uma parábola que abre para a direita, e as retas $ x = 1 $ e $ x = 0 $ são verticais. A interseção dessas curvas ocorre quando $ y^{2} = 1 $, ou seja, $ y = 1 $ e $ y = -1 $. Então, nossa região vai de $ y = -1 $ a $ y = 1 $.

Passo 3

A técnica das cascas cilíndricas envolve integrar ao longo do eixo perpendicular ao de rotação. Como estamos girando em torno do eixo $ x $, vamos integrar em relação a $ y $. A fórmula para o volume usando cascas cilíndricas é:
x
Aqui, $ L(y) $ é o comprimento da casca em cada valor de $ y $.

Passo 4

Vamos determinar $ L(y) $. No nosso caso, o comprimento da casca é a distância entre as curvas que limitam a região na direção do eixo $ x $. Temos $ x = y^{2} $ e $ x = 1 $. Então, $ L(y) = 1 - y^{2} $.

Passo 5

Agora, substituímos $ L(y) $ na fórmula do volume:
L(y)
Mas, observamos que a função $ y \cdot (1 - y^{2}) $ é uma função ímpar, ou seja, ela é simétrica em relação à origem. Como estamos integrando de $ -1 $ a $ 1 $, o resultado será zero. Isso não faz sentido para um volume, então percebemos que precisamos ajustar nossa abordagem.

Passo 6

Acontece que, ao girar em torno do eixo $ x $, a posição $ y $ acima e abaixo do eixo contribui positivamente para o volume. Para simplificar, podemos integrar apenas de $ 0 $ a $ 1 $ e multiplicar por 2:
x

Passo 7

Vamos resolver a integral:
integral0^1 y (1 - y^2) , dy = integral0^1 (y - y^3) , dy = [ y^22 - y^44 ]0^1
Substituindo os limites:
( 1^22 - 1^44 ) - ( 0^22 - 0^44 ) = ( 12 - 14 ) = 14

Passo 8

Agora, multiplicamos o resultado da integral pelo $ 4\pi $:
4pi

Resposta

O volume do sólido formado é $ \pi $ unidades cúbicas.

Exercícios relacionados