Inverta a ordem de integração. integral0^3 a[integralraiz33 x^raiz4 a x-x^2 f(x, y) d y] d x(a>0).

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral dupla integral0^3a!gl[integraltfracraiz33x^raiz4ax - x^2f(x,y),dygr]dx, com a>0. O conteúdo é mudança da ordem de integração em integrais duplas e vamos precisar: identificar a região de integração D no plano (x,y), projetá-la no eixo y e, para cada y, encontrar os limites de x.

Passo 2

Vamos descrever a região D. Pelas condições internas temos
0 <= x <= 3a,
raiz33x ;<=; y ;<=; raiz4ax - x^2
A curva y=raiz4ax - x^2 é a semicircunferência de centro (2a,0) e raio 2a. A reta y=tfracraiz33x tem inclinação raiz3/3 e intercepta a semicircunferência em x=0,y=0 e x=3a,y=araiz3.

Passo 3

Para inverter a ordem, projetamos D no eixo y. Os valores extremos de y vão do mínimo na interseção (origem) até o máximo em x=3a:
0 <= y <= araiz3

Passo 4

Agora, para um dado y fixo em [0,araiz3], encontramos os limites em x. Temos duas desigualdades:
  1. Da reta: y >= tfracraiz33x implica x <= tfrac3raiz3y = raiz3,y
  2. Da semicircunferência: y <= raiz4ax - x^2 equivale a
x^2 - 4ax + y^2 <= 0,
o que dá
2a - raiz4a^2 - y^2 ;<=; x ;<=; 2a + raiz4a^2 - y^2
Como x originalmente vai até 3a e se mostra que 2a+raiz4a^2-y^2>=raiz3y para todo y, o limite superior de x será raiz3y. O limite inferior de x é 2a-raiz4a^2-y^2, que fica entre 0 e a.

Passo 5

Finalmente, montamos a integral com a ordem invertida: y varia de 0 a araiz3 e, para cada y, x varia de 2a-raiz4a^2-y^2 a raiz3y.

Resposta

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