Inverta a ordem de integração.
.
Passo 1
O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral dupla
, com
. O conteúdo é mudança da ordem de integração em integrais duplas e vamos precisar: identificar a região de integração
no plano
, projetá-la no eixo
e, para cada
, encontrar os limites de
.
Passo 2
Vamos descrever a região
. Pelas condições internas temos
A curva
é a semicircunferência de centro
e raio
. A reta
tem inclinação
e intercepta a semicircunferência em
e
.
Passo 3
Para inverter a ordem, projetamos
no eixo
. Os valores extremos de
vão do mínimo na interseção (origem) até o máximo em
:
Passo 4
Agora, para um dado
fixo em
, encontramos os limites em
. Temos duas desigualdades:
- Da reta:
implica - Da semicircunferência:
equivale a
o que dá
Como
originalmente vai até
e se mostra que
para todo
, o limite superior de
será
. O limite inferior de
é
, que fica entre 0 e
.
Passo 5
Finalmente, montamos a integral com a ordem invertida:
varia de 0 a
e, para cada
,
varia de
a
.