Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo
, das regiões limitadas pelas retas e curvas indicadas.
A região delimitada pelo triângulo com vértices em
.
A região delimitada pelo triângulo com vértices em
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região triangular com vértices em
,
e
. O conteúdo é aplicação do método dos discos/anes usando integrais definidas.
Passo 2
Identificamos as arestas do triângulo:
– Linha horizontal em de
a
.
– Linha inclinada de a
, cuja equação é
.
Para cada entre
e
, a região varia de
até
.
– Linha horizontal em
– Linha inclinada de
Para cada
Passo 3
Ao girar em torno do eixo
, cada seção em
é um anel de raio externo
e raio interno
Portanto
Passo 4
Para calcular a integral, fazemos
, de modo que quando
temos
e quando
temos
. Assim
Passo 5
Substituindo no volume, obtemos