Calcule a integral \int_{0}^{3} \int_{y^{2}}^{9} y \cos \left(x^{2}\right) d x d y. ( 2,0 pontos)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
I = \int_{0}^{3} \int_{y^{2}}^{9} y \,\cos\!\bigl(x^{2}\bigr)\,dx\,dy.
O conteúdo principal é troca da ordem de integração (Teorema de Fubini) para simplificar o cálculo, e em seguida usar substituição em uma integral simples.
Passo 2
Primeiro identificamos a região de integração no plano (x,y):
R = \bigl\{(x,y)\mid 0 \le y \le 3,\;y^{2} \le x \le 9\bigr\}.
Invertendo a ordem, x varia de 0 até 9 e, para cada x, y varia de 0 até \sqrt{x}. Assim
I = \int_{x=0}^{9} \int_{y=0}^{\sqrt{x}} y \,\cos\!\bigl(x^{2}\bigr)\,dy\,dx.
Passo 3
Como \cos\!\bigl(x^{2}\bigr) não depende de y, fazemos primeiro