Calcule a integral \int_{0}^{3} \int_{y^{2}}^{9} y \cos \left(x^{2}\right) d x d y. ( 2,0 pontos)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
I = \int_{0}^{3} \int_{y^{2}}^{9} y \,\cos\!\bigl(x^{2}\bigr)\,dx\,dy.
O conteúdo principal é troca da ordem de integração (Teorema de Fubini) para simplificar o cálculo, e em seguida usar substituição em uma integral simples.

Passo 2

Primeiro identificamos a região de integração no plano (x,y):
R = \bigl\{(x,y)\mid 0 \le y \le 3,\;y^{2} \le x \le 9\bigr\}.
Invertendo a ordem, x varia de 0 até 9 e, para cada x, y varia de 0 até \sqrt{x}. Assim
I = \int_{x=0}^{9} \int_{y=0}^{\sqrt{x}} y \,\cos\!\bigl(x^{2}\bigr)\,dy\,dx.

Passo 3

Como \cos\!\bigl(x^{2}\bigr) não depende de y, fazemos primeiro
\int_{0}^{\sqrt{x}} y\,dy = \left.\frac{y^{2}}{2}\right|_{0}^{\sqrt{x}} = \frac{x}{2}.
Logo
I = \int_{0}^{9} \frac{x}{2}\,\cos\!\bigl(x^{2}\bigr)\,dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{9} x\,\cos\!\bigl(x^{2}\bigr)\,dx.

Passo 4

Para calcular \displaystyle \int_{0}^{9} x\,\cos\!\bigl(x^{2}\bigr)\,dx, use a substituição
u = x^{2}, \quad du = 2x\,dx \;\Longrightarrow\; x\,dx = \frac{du}{2}.
Quando x=0, u=0; quando x=9, u=81. Assim
\int_{0}^{9} x\,\cos\!\bigl(x^{2}\bigr)\,dx = \int_{0}^{81} \cos(u)\,\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int_{0}^{81} \cos(u)\,du.

Passo 5

Integramos \cos(u):
\frac{1}{2}\int_{0}^{81}\cos(u)\,du = \frac{1}{2}\bigl[\sin(u)\bigr]_{0}^{81} = \frac{1}{2}\bigl(\sin(81)-\sin(0)\bigr) = \frac{\sin(81)}{2}.
Como tínhamos um fator \tfrac12 lá em cima,
I = \frac{1}{2}\times \frac{\sin(81)}{2} = \frac{\sin(81)}{4}.

Resposta

\boxed{\frac{\sin(81)}{4}}

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