Quais das seguintes integrais são impróprias? Justifique.
\int_{1}^{3} \frac{1}{(x-2)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para identificar se
\int_{1}^{3} \frac{1}{(x-2)^{2}}\,dx
é uma integral imprópria.
O conteúdo envolvido são integrais impróprias do tipo II, ou seja, aquelas em que o integrando fica descontínuo num ponto interior ou nas extremidades do intervalo de integração.

Passo 2

Observe o integrando
f(x)=\frac{1}{(x-2)^{2}}.
Ele não está definido quando x=2, pois o denominador anula. E 2 pertence ao intervalo de integração [1,3]. Logo, há uma descontinuidade no interior do intervalo.

Passo 3

Para lidar com essa descontinuidade interna, definimos a integral como o limite da soma de duas integrais em torno de x=2:
\int_{1}^{3}\frac{1}{(x-2)^{2}}\,dx =\lim_{a\to2^{-}}\int_{1}^{a}\frac{1}{(x-2)^{2}}\,dx \;+\;\lim_{b\to2^{+}}\int_{b}^{3}\frac{1}{(x-2)^{2}}\,dx.
Esse procedimento de usar limites na(s) descontinuidade(s) caracteriza uma integral imprópria.

Resposta

A integral
\int_{1}^{3} \frac{1}{(x-2)^{2}}\,dx
é imprópria, pois o integrando apresenta descontinuidade (singularidade) em x=2, que está no interior do intervalo de integração.

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