Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo x, das regiões limitadas pelas retas e curvas indicadas.
A região delimitada pelo triângulo com vértices em (1,0),(2,1) \mathrm{e}(1,1).

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo x, da região triangular com vértices em (1,0), (2,1) e (1,1). O conteúdo é aplicação do método dos discos/anes usando integrais definidas.

Passo 2

Identificamos as arestas do triângulo:
– Linha horizontal em y=1 de x=1 a x=2.
– Linha inclinada de (1,0) a (2,1), cuja equação é y=x-1.
Para cada x entre 1 e 2, a região varia de y_{\min}=x-1 até y_{\max}=1.

Passo 3

Ao girar em torno do eixo x, cada seção em x é um anel de raio externo
R(x)=y_{\max}=1
e raio interno
r(x)=y_{\min}=x-1.
Portanto
V = \pi \int_{1}^{2}\bigl[R(x)^2 - r(x)^2\bigr]\,dx = \pi \int_{1}^{2}\bigl(1^2 - (x-1)^2\bigr)\,dx.

Passo 4

Para calcular a integral, fazemos u=x-1, de modo que quando x=1 temos u=0 e quando x=2 temos u=1. Assim
\int_{1}^{2}\bigl(1 - (x-1)^2\bigr)\,dx = \int_{0}^{1}(1 - u^2)\,du = \Bigl[u - \tfrac{u^3}{3}\Bigr]_{0}^{1} = 1 - \tfrac{1}{3} = \tfrac{2}{3}.

Passo 5

Substituindo no volume, obtemos
V = \pi \cdot \tfrac{2}{3} = \tfrac{2\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle \tfrac{2\pi}{3}

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