Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo (y), das regiões limitadas pelas retas e curvas.
A regiāo delimitada por x=y^{3 / 2}, x=0, y=2

Passo 1

O enunciado dá a região do plano limitada por x=y^{3/2}, x=0 e y=2, e pede o volume do sólido gerado ao girar essa região em torno do eixo y.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A curva direita da região é x=y^{3/2}.
  • A reta esquerda é x=0 (eixo y).
  • A linha horizontal superior é y=2.
  • As interseções: ao resolver x=y^{3/2} com x=0 obtém-se y=0, logo a região fica entre y=0 e y=2.
    O que se pede: o volume do sólido obtido pela rotação dessa região em torno do eixo y.

Passo 2

Escolha do método e ideia física: como a região está naturalmente descrita por x em função de y (ou seja, x=f(y)) e a rotação é em torno do eixo y, a maneira mais direta é o método dos discos (ou lâminas) horizontais.
Regra do método dos discos (explicação didática): ao girar um pequeno segmento horizontal em torno do eixo y obtemos um disco circular. Se a borda da região, para uma dada altura y, está a uma distância R(y) do eixo y, a área da seção transversal é
A(y)=\pi\bigl(R(y)\bigr)^2.
O volume do sólido é a soma (integral) dessas áreas ao longo de y:
V=\int_{y_1}^{y_2} \pi\bigl(R(y)\bigr)^2\,dy,
onde y_1 e y_2 são os limites em y. Aqui R(y) é simplesmente a abscissa da curva, ou seja R(y)=x(y)=y^{3/2}, e os limites são y_1=0 e y_2=2.

Passo 3

Montando o integral com os dados: substituindo R(y)=y^{3/2} na fórmula,
V=\int_{0}^{2} \pi\bigl(y^{3/2}\bigr)^2\,dy.
Simplificando a potência:
\bigl(y^{3/2}\bigr)^2 = y^{3/2\cdot 2}=y^{3},
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V=\pi\int_{0}^{2} y^{3}\,dy.

Passo 4

Cálculo da integral (regra da primitiva/potência): para um expoente n\neq -1,
\int y^{n}\,dy=\frac{y^{n+1}}{n+1}.
Aplicando com n=3,
\int y^{3}\,dy=\frac{y^{4}}{4}.
Agora avaliamos o integral definido:
\int_{0}^{2} y^{3}\,dy=\left.\frac{y^{4}}{4}\right|_{0}^{2}=\frac{2^{4}}{4}-0=\frac{16}{4}=4.
Multiplicando por \pi obtemos
V=\pi\cdot 4=4\pi.

Passo 5

Verificação alternativa (método das cascas cilíndricas) — breve e didática: se preferir integrar em x, inverter a curva dá y=x^{2/3}. Para cada x entre 0 e x_{\max}=2^{3/2} temos uma casca de raio x e altura igual à diferença entre o topo y=2 e a curva y=x^{2/3}, isto é \text{altura}=2-x^{2/3}. A fórmula das cascas é
V=2\pi\int_{0}^{2^{3/2}} x\bigl(2-x^{2/3}\bigr)\,dx.
Calculando:
V=2\pi\left[2\int_{0}^{2^{3/2}} x\,dx-\int_{0}^{2^{3/2}} x^{5/3}\,dx\right] =2\pi\left[2\cdot\frac{x^{2}}{2}\Big|_{0}^{2^{3/2}}-\frac{3}{8}x^{8/3}\Big|_{0}^{2^{3/2}}\right].
Avaliação: (2^{3/2})^{2}=2^{3}=8 e (2^{3/2})^{8/3}=2^{4}=16. Portanto
V=2\pi\bigl(8-\tfrac{3}{8}\cdot16\bigr)=2\pi(8-6)=2\pi\cdot 2=4\pi,
confirmando o resultado anterior. Conclusão: as duas abordagens dão V=4\pi.

Resposta

4\pi

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