Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo (y), das regiões limitadas pelas retas e curvas.
A regiāo delimitada por x=y^{3 / 2}, x=0, y=2
Passo 1
O enunciado dá a região do plano limitada por x=y^{3/2}, x=0 e y=2, e pede o volume do sólido gerado ao girar essa região em torno do eixo y.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A curva direita da região é x=y^{3/2}.
A reta esquerda é x=0 (eixo y).
A linha horizontal superior é y=2.
As interseções: ao resolver x=y^{3/2} com x=0 obtém-se y=0, logo a região fica entre y=0 e y=2.
O que se pede: o volume do sólido obtido pela rotação dessa região em torno do eixo y.
Passo 2
Escolha do método e ideia física: como a região está naturalmente descrita por x em função de y (ou seja, x=f(y)) e a rotação é em torno do eixo y, a maneira mais direta é o método dos discos (ou lâminas) horizontais.
Regra do método dos discos (explicação didática): ao girar um pequeno segmento horizontal em torno do eixo y obtemos um disco circular. Se a borda da região, para uma dada altura y, está a uma distância R(y) do eixo y, a área da seção transversal é
A(y)=\pi\bigl(R(y)\bigr)^2.
O volume do sólido é a soma (integral) dessas áreas ao longo de y:
V=\int_{y_1}^{y_2} \pi\bigl(R(y)\bigr)^2\,dy,
onde y_1 e y_2 são os limites em y. Aqui R(y) é simplesmente a abscissa da curva, ou seja R(y)=x(y)=y^{3/2}, e os limites são y_1=0 e y_2=2.
Passo 3
Montando o integral com os dados: substituindo R(y)=y^{3/2} na fórmula,
V=\int_{0}^{2} \pi\bigl(y^{3/2}\bigr)^2\,dy.
Simplificando a potência:
\bigl(y^{3/2}\bigr)^2 = y^{3/2\cdot 2}=y^{3},
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V=\pi\int_{0}^{2} y^{3}\,dy.
Passo 4
Cálculo da integral (regra da primitiva/potência): para um expoente n\neq -1,
Verificação alternativa (método das cascas cilíndricas) — breve e didática: se preferir integrar em x, inverter a curva dá y=x^{2/3}. Para cada x entre 0 e x_{\max}=2^{3/2} temos uma casca de raio x e altura igual à diferença entre o topo y=2 e a curva y=x^{2/3}, isto é \text{altura}=2-x^{2/3}. A fórmula das cascas é