Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo (y), das regiões limitadas pelas retas e curvas.
A regiāo no primeiro quadrante delimitada pelos eixos de coordenadas, pela reta y=3 e pela curva x= 2 / \sqrt{y+1}.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, da região que está no primeiro quadrante e é limitada por:
  • os eixos de coordenadas (ou seja x=0 e y=0);
  • a reta y=3;
  • a curva x=\dfrac{2}{\sqrt{y+1}}.
Pergunta clara: calcular o volume desse sólido de revolução.
Informações relevantes que temos:
  • Para cada y com 0\le y\le3, a região vai de x=0 até x=\dfrac{2}{\sqrt{y+1}}.
  • O eixo de rotação é o eixo y.

Passo 2

Escolha do método: fatias perpendiculares ao eixo de rotação (método dos discos / anéis).
Por que escolhi esse método? Porque a rotação é em torno do eixo y e a região está descrita naturalmente como x em função de y. Assim, para cada altura y a região gera um disco (ou anel) de raio igual a x(y). Esse é o jeito mais direto: calcular a área da seção transversal perpendicular ao eixo y e integrar em y.
Lembrete da fórmula (aula rápida): se a região, ao girar em torno do eixo y, tem seção transversal perpendicular ao eixo y com raio exterior R(y) e raio interior r(y), então o volume é
V=\int_{y=a}^{y=b} \pi\bigl(R(y)^2-r(y)^2\bigr)\,dy.
Aqui o raio exterior é R(y)=x(y) e o raio interior é r(y)=0 (pois a região toca o eixo y em x=0).

Passo 3

Identificar os limites de integração e o raio:
  • Os limites em y são de y=0 até y=3 (peguei isso do enunciado: “no primeiro quadrante” e "pela reta y=3").
  • A função que dá o raio do disco é x(y)=\dfrac{2}{\sqrt{y+1}}.
Portanto, pela fórmula dos discos,
V=\int_{0}^{3} \pi\bigl(x(y)\bigr)^2\,dy.

Passo 4

Substituir x(y) na integral e simplificar a integranda.
Temos
x(y)=\dfrac{2}{\sqrt{y+1}}\quad\Rightarrow\quad \bigl(x(y)\bigr)^2=\dfrac{4}{y+1}.
Logo
V=\int_{0}^{3}\pi\cdot \dfrac{4}{y+1}\,dy = 4\pi\int_{0}^{3}\dfrac{1}{y+1}\,dy.
Explicando a técnica: a integral de \dfrac{1}{y+1} é uma integral básica — é a derivada logarítmica; a antiderivada é \ln(y+1). Aqui \ln é o logaritmo natural.

Passo 5

Calcular a integral indefinida e avaliar nos limites.
A antiderivada é
\int \dfrac{1}{y+1}\,dy = \ln(y+1) + C.
Multiplicando por 4\pi,
\int 4\pi\cdot\dfrac{1}{y+1}\,dy = 4\pi\ln(y+1) + C.
Agora avaliar de 0 a 3:
V = \Bigl[4\pi\ln(y+1)\Bigr]_{0}^{3} = 4\pi\bigl(\ln(3+1)-\ln(0+1)\bigr).

Passo 6

Avaliação final e simplificação:
V = 4\pi\bigl(\ln 4 - \ln 1\bigr).
Como \ln 1=0, obtemos
V = 4\pi\ln 4.
Observação: \ln 4 = 2\ln 2, então uma forma alternativa é
V = 8\pi\ln 2.

Resposta

V = 8\pi\ln 2

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