Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo (y), das regiões limitadas pelas retas e curvas.
A regiāo no primeiro quadrante delimitada pelos eixos de coordenadas, pela reta
e pela curva
.
A regiāo no primeiro quadrante delimitada pelos eixos de coordenadas, pela reta
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, da região que está no primeiro quadrante e é limitada por:
- os eixos de coordenadas (ou seja
e ); - a reta
; - a curva
.
Pergunta clara: calcular o volume desse sólido de revolução.
Informações relevantes que temos:
- Para cada
com , a região vai de até . - O eixo de rotação é o eixo
.
Passo 2
Escolha do método: fatias perpendiculares ao eixo de rotação (método dos discos / anéis).
Por que escolhi esse método? Porque a rotação é em torno do eixo
e a região está descrita naturalmente como
em função de
. Assim, para cada altura
a região gera um disco (ou anel) de raio igual a
. Esse é o jeito mais direto: calcular a área da seção transversal perpendicular ao eixo
e integrar em
.
Lembrete da fórmula (aula rápida): se a região, ao girar em torno do eixo
, tem seção transversal perpendicular ao eixo
com raio exterior
e raio interior
, então o volume é
Aqui o raio exterior é
e o raio interior é
(pois a região toca o eixo
em
).
Passo 3
Identificar os limites de integração e o raio:
- Os limites em
são de até (peguei isso do enunciado: “no primeiro quadrante” e "pela reta "). - A função que dá o raio do disco é
.
Portanto, pela fórmula dos discos,
Passo 4
Substituir
na integral e simplificar a integranda.
Temos
Logo
Explicando a técnica: a integral de
é uma integral básica — é a derivada logarítmica; a antiderivada é
. Aqui
é o logaritmo natural.
Passo 5
Calcular a integral indefinida e avaliar nos limites.
A antiderivada é
Multiplicando por
,
Agora avaliar de
a
:
Passo 6
Avaliação final e simplificação:
Como
, obtemos
Observação:
, então uma forma alternativa é