Seja X_{1}, \ldots, X_{n} uma amostra de uma distribuição Exponencial( \theta ) com densidade f(x)=\frac{1}{\theta} e^{-x / \theta}, onde \theta>0. Sabe-se que \hat{\theta}_{M V}=\bar{X}.
Se n for suficientemente grande, qual será a distribuição aproximada (assintótica) de \hat{\theta}_{M V} ? ( 2,0 pontos)

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (lista clara do que foi dado e do que é pedido):
  • Foi dada uma amostra X_{1},\dots,X_{n} i.i.d. de uma distribuição Exponencial com parâmetro \theta>0 e densidade
f(x)=\frac{1}{\theta}e^{-x/\theta},\qquad x\ge 0.
  • Sabe-se que o estimador de máxima verossimilhança (ou estimador por momento) é \hat{\theta}_{MV}=\bar{X}, onde
\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i.
  • A pergunta: se n for suficientemente grande, qual é a distribuição aproximada (assintótica) de \hat{\theta}_{MV}?

Passo 2

Calcular a esperança e a variância de cada X_i (isso é informação útil e necessária).
  • Definição: a esperança de uma variável contínua com densidade f é \displaystyle E(X)=\int_{0}^{\infty} x f(x)\,dx.
  • Para a exponencial dada:
E(X)=\int_{0}^{\infty} x\frac{1}{\theta}e^{-x/\theta}\,dx.
Fazer a mudança de variável u=x/\theta, então x=\theta u e dx=\theta du. Assim
E(X)=\int_{0}^{\infty} (\theta u)\frac{1}{\theta} e^{-u}\theta\,du = \theta\int_{0}^{\infty} u e^{-u}\,du.
Sabe-se (ou pode-se calcular por integração por partes) que \displaystyle \int_{0}^{\infty} u e^{-u}\,du=1. Logo
E(X)=\theta.
  • Agora E(X^2):
E(X^2)=\int_{0}^{\infty} x^2\frac{1}{\theta}e^{-x/\theta}\,dx.
Com a mesma mudança u=x/\theta obtemos
E(X^2)=\theta^2\int_{0}^{\infty} u^2 e^{-u}\,du.
E \displaystyle \int_{0}^{\infty} u^2 e^{-u}\,du=2 (pode-se obter por integração por partes ou usar a função gama). Portanto
E(X^2)=2\theta^2.
  • A variância é \displaystyle \operatorname{Var}(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=2\theta^2-\theta^2=\theta^2.
Resumo útil obtido: para cada X_i,
E(X_i)=\theta,\qquad \operatorname{Var}(X_i)=\theta^2.

Passo 3

Aplicar o Teorema Central do Limite (explicação didática do que é e por que vale aqui).
  • Enunciado do Teorema Central do Limite (versão prática): se X_{1},\dots,X_{n} são i.i.d. com média finita \mu e variância finita \sigma^2, então, para n grande,
\sqrt{n}\,\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma}\overset{\text{aprox}}{\sim} N(0,1),
ou, em termos de \bar{X},
\bar{X}\overset{\text{aprox}}{\sim} N\!\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right).
  • Por que podemos usar aqui: as X_i são i.i.d., e acabamos de calcular que têm média \mu=\theta e variância finita \sigma^2=\theta^2. Portanto as hipóteses do TCL estão satisfeitas.
  • Aplicando com \mu=\theta e \sigma^2=\theta^2 obtemos a distribuição assintótica da média amostral (que é o estimador MLE dado):
\hat{\theta}_{MV}=\bar{X}\overset{\text{aprox}}{\sim} N\!\left(\theta,\frac{\theta^{2}}{n}\right)\quad\text{para \(n\) grande.}
  • Interpretação prática: isso quer dizer que, quando n é grande, \hat{\theta}_{MV} é aproximadamente normal centrada em \theta com variância \theta^{2}/n; assim desvios típicos de \hat{\theta}_{MV} em torno de \theta têm ordem \theta/\sqrt{n}.

Passo 4

(Comentário extra — outra forma de ver o mesmo resultado, útil na prova)
  • Propriedade de MLEs: sob condições regulares, o estimador de máxima verossimilhança é assintoticamente normal com variância igual a 1/(nI(\theta)), onde I(\theta) é a informação de Fisher por observação.
  • Para a exponencial com densidade f(x)=\theta^{-1}e^{-x/\theta},
\ell(\theta;x)=\ln f(x)=-\ln\theta -\frac{x}{\theta},
\frac{\partial \ell}{\partial \theta}=-\frac{1}{\theta}+\frac{x}{\theta^{2}},\qquad \frac{\partial^{2}\ell}{\partial \theta^{2}}=\frac{1}{\theta^{2}}-\frac{2x}{\theta^{3}}.
Tomando esperança da segunda derivada:
E\!\left[\frac{\partial^{2}\ell}{\partial \theta^{2}}\right]=\frac{1}{\theta^{2}}-\frac{2E(X)}{\theta^{3}}=\frac{1}{\theta^{2}}-\frac{2\theta}{\theta^{3}}=-\frac{1}{\theta^{2}}.
Portanto a informação de Fisher por observação é I(\theta)=-E[\partial^{2}\ell/\partial\theta^{2}]=1/\theta^{2}. A variância assintótica do MLE é 1/(nI(\theta))=\theta^{2}/n, recuperando o mesmo resultado:
\hat{\theta}_{MV}\overset{\text{aprox}}{\sim} N\!\left(\theta,\frac{\theta^{2}}{n}\right).

Resposta

\hat{\theta}_{MV}=\bar{X}\overset{\text{aprox}}{\sim}N\!\left(\theta,\frac{\theta^{2}}{n}\right)

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