Seja
uma amostra de uma distribuição Exponencial(
) com densidade
, onde
. Sabe-se que
.
Se
for suficientemente grande, qual será a distribuição aproximada (assintótica) de
? ( 2,0 pontos)
Se
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (lista clara do que foi dado e do que é pedido):
- Foi dada uma amostra
i.i.d. de uma distribuição Exponencial com parâmetro e densidade
- Sabe-se que o estimador de máxima verossimilhança (ou estimador por momento) é
, onde
- A pergunta: se
for suficientemente grande, qual é a distribuição aproximada (assintótica) de ?
Passo 2
Calcular a esperança e a variância de cada
(isso é informação útil e necessária).
- Definição: a esperança de uma variável contínua com densidade
é . - Para a exponencial dada:
Fazer a mudança de variável
, então
e
. Assim
Sabe-se (ou pode-se calcular por integração por partes) que
. Logo
- Agora
:
Com a mesma mudança
obtemos
E
(pode-se obter por integração por partes ou usar a função gama). Portanto
- A variância é
Resumo útil obtido: para cada
,
Passo 3
Aplicar o Teorema Central do Limite (explicação didática do que é e por que vale aqui).
- Enunciado do Teorema Central do Limite (versão prática): se
são i.i.d. com média finita e variância finita , então, para grande,
ou, em termos de
,
- Por que podemos usar aqui: as
são i.i.d., e acabamos de calcular que têm média e variância finita . Portanto as hipóteses do TCL estão satisfeitas. - Aplicando com
e obtemos a distribuição assintótica da média amostral (que é o estimador MLE dado):
- Interpretação prática: isso quer dizer que, quando
é grande, é aproximadamente normal centrada em com variância ; assim desvios típicos de em torno de têm ordem .
Passo 4
(Comentário extra — outra forma de ver o mesmo resultado, útil na prova)
- Propriedade de MLEs: sob condições regulares, o estimador de máxima verossimilhança é assintoticamente normal com variância igual a
, onde é a informação de Fisher por observação. - Para a exponencial com densidade
,
Tomando esperança da segunda derivada:
Portanto a informação de Fisher por observação é
. A variância assintótica do MLE é
, recuperando o mesmo resultado: