Determine o volume de um tetraedro A B C D, onde A=(1,2,1), B=(6,3,3), C=(5,8,-2) e D=(-2,4,5). Determine a área da base \triangle A B C.
Dica: Dados o triangulo A B C, a área pode ser calculada como a metade do módulo do vetor A B \times A C ( isto ᅵ, 1 / 2 do módulo do produto vetorial de A B e A C )
Observação rápida (sem resolver ainda): a área do triângulo A B C pode ser calculada por
\text{Área}(\triangle A B C)=\tfrac{1}{2}\,\big\|\,\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\,\big\|.
O volume do tetraedro formado por A,B,C,D pode ser obtido a partir do produto misto (produto escalar entre um produto vetorial e um vetor), pois o volume do paralelepípedo gerado por \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} é o valor absoluto do produto misto, e o tetraedro corresponde a uma fração desse paralelepípedo.
Passo 2
Calcular os vetores \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} a partir das coordenadas dos pontos.
Definição: para pontos X=(x_1,x_2,x_3) e Y=(y_1,y_2,y_3), o vetor \overrightarrow{XY}=Y-X=(y_1-x_1,\;y_2-x_2,\;y_3-x_3).
\text{Área}(\triangle A B C)=\tfrac{1}{2}\sqrt{1430}.Á
Se quiser uma aproximação numérica,
\text{Área}(\triangle A B C)\approx 18{,}9095\\ \text{(unidades de área)}.Áá
Passo 5
Calcular o volume do tetraedro usando o produto misto.
Lembrete (produto misto e volume): para vetores \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}, o produto misto é \mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w}) e o volume do paralelepípedo gerado por esses vetores é \big|\mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w})\big|. O tetraedro determinado por esses três vetores (com vértice em origem) tem volume igual a um sexto do paralelepípedo, ou seja,
\text{Volume do tetraedro}=\tfrac{1}{6}\,\big|\mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w})\big|.
No nosso caso podemos tomar \mathbf{u}=\overrightarrow{AB},\;\mathbf{v}=\overrightarrow{AC},\;\mathbf{w}=\overrightarrow{AD}. Já calculamos \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(-15,23,26). Agora fazemos o produto escalar com \overrightarrow{AD}=(-3,2,4):
Produto escalar (definição): para \mathbf{p}=(p_1,p_2,p_3) e \mathbf{q}=(q_1,q_2,q_3),