Determine o volume de um tetraedro A B C D, onde A=(1,2,1), B=(6,3,3), C=(5,8,-2) e D=(-2,4,5). Determine a área da base \triangle A B C.
Dica: Dados o triangulo A B C, a área pode ser calculada como a metade do módulo do vetor A B \times A C ( isto ᅵ, 1 / 2 do módulo do produto vetorial de A B e A C )

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele nos dá.
  • Dados os pontos
A=(1,2,1),\qquad B=(6,3,3),\qquad C=(5,8,-2),\qquad D=(-2,4,5).
  • Perguntas:
    1. Determinar o volume do tetraedro A B C D.
    2. Determinar a área da base \triangle A B C.
Observação rápida (sem resolver ainda): a área do triângulo A B C pode ser calculada por
\text{Área}(\triangle A B C)=\tfrac{1}{2}\,\big\|\,\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\,\big\|.Á
O volume do tetraedro formado por A,B,C,D pode ser obtido a partir do produto misto (produto escalar entre um produto vetorial e um vetor), pois o volume do paralelepípedo gerado por \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} é o valor absoluto do produto misto, e o tetraedro corresponde a uma fração desse paralelepípedo.

Passo 2

Calcular os vetores \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} a partir das coordenadas dos pontos.
Definição: para pontos X=(x_1,x_2,x_3) e Y=(y_1,y_2,y_3), o vetor \overrightarrow{XY}=Y-X=(y_1-x_1,\;y_2-x_2,\;y_3-x_3).
Aplicando aos pontos dados:
\overrightarrow{AB}=B-A=(6-1,\;3-2,\;3-1)=(5,1,2),
\overrightarrow{AC}=C-A=(5-1,\;8-2,\;-2-1)=(4,6,-3),
\overrightarrow{AD}=D-A=(-2-1,\;4-2,\;5-1)=(-3,2,4).

Passo 3

Calcular o produto vetorial \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}.
Lembrete (fórmula do produto vetorial): para \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3) e \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3),
\mathbf{u}\times\mathbf{v}=\big(u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1\big).
Aplicando com \mathbf{u}=\overrightarrow{AB}=(5,1,2) e \mathbf{v}=\overrightarrow{AC}=(4,6,-3):
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\big(1\cdot(-3)-2\cdot6,\;2\cdot4-5\cdot(-3),\;5\cdot6-1\cdot4\big).
Calcule cada componente:
1\cdot(-3)-2\cdot6 = -3-12 = -15,
2\cdot4-5\cdot(-3) = 8+15 = 23,
5\cdot6-1\cdot4 = 30-4 = 26.
Portanto
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(-15,\,23,\,26).

Passo 4

Calcular a área do triângulo \triangle A B C a partir do módulo do produto vetorial.
Lembrete: a norma (módulo) de um vetor \mathbf{w}=(w_1,w_2,w_3) é
\|\mathbf{w}\|=\sqrt{w_1^2+w_2^2+w_3^2}.
Aplicando a \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(-15,23,26):
\big\|\,\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\,\big\| =\sqrt{(-15)^2+23^2+26^2} =\sqrt{225+529+676} =\sqrt{1430}.
Como a área do triângulo é metade desse módulo:
\text{Área}(\triangle A B C)=\tfrac{1}{2}\sqrt{1430}.Á
Se quiser uma aproximação numérica,
\text{Área}(\triangle A B C)\approx 18{,}9095\\ \text{(unidades de área)}.Áá

Passo 5

Calcular o volume do tetraedro usando o produto misto.
Lembrete (produto misto e volume): para vetores \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}, o produto misto é \mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w}) e o volume do paralelepípedo gerado por esses vetores é \big|\mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w})\big|. O tetraedro determinado por esses três vetores (com vértice em origem) tem volume igual a um sexto do paralelepípedo, ou seja,
\text{Volume do tetraedro}=\tfrac{1}{6}\,\big|\mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w})\big|.
No nosso caso podemos tomar \mathbf{u}=\overrightarrow{AB},\;\mathbf{v}=\overrightarrow{AC},\;\mathbf{w}=\overrightarrow{AD}. Já calculamos \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(-15,23,26). Agora fazemos o produto escalar com \overrightarrow{AD}=(-3,2,4):
Produto escalar (definição): para \mathbf{p}=(p_1,p_2,p_3) e \mathbf{q}=(q_1,q_2,q_3),
\mathbf{p}\cdot\mathbf{q}=p_1q_1+p_2q_2+p_3q_3.
Aplicando:
(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC})\cdot\overrightarrow{AD} =(-15)(-3)+23\cdot2+26\cdot4.
Calcule cada termo:
(-15)(-3)=45,\qquad 23\cdot2=46,\qquad 26\cdot4=104.
Somando:
45+46+104=195.
Portanto o produto misto vale 195 e o volume do paralelepípedo é |195|=195. Assim o volume do tetraedro é
\text{Volume}(ABCD)=\tfrac{1}{6}\cdot 195=\tfrac{195}{6}.
Simplificando a fração:
\tfrac{195}{6}=\tfrac{65}{2}.
Se quiser uma aproximação numérica,
\text{Volume}(ABCD)=32{,}5\\ \text{(unidades de volume)}.

Resposta

\text{Volume}(ABCD)=\dfrac{65}{2}
\text{Área}(\triangle ABC)=\dfrac{1}{2}\sqrt{1430}Á

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