Determine os volumes máximo e mínimo da caixa retangular cuja superfície tem 1500
e cuja soma dos comprimentos das arestas é 200 cm . Utilize o Método de Lagrange.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os volumes máximo e mínimo de uma caixa retangular que tem uma superfície de 1500 cm² e onde a soma dos comprimentos das arestas é 200 cm. Para isso, vamos usar o Método de Lagrange, que é uma técnica matemática usada para encontrar máximos e mínimos de funções sujeitas a restrições. Vamos precisar das fórmulas da área da superfície de uma caixa e da soma das arestas, além da teoria por trás dos multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis. Vamos chamar as dimensões da caixa de
,
e
. Assim, temos:
- A área da superfície da caixa é dada por:
- A soma das arestas da caixa é:
Vamos simplificar essa última equação dividindo ambos os lados por 4:
Passo 3
Agora, nosso objetivo é maximizar e minimizar o volume
da caixa, que é dado por:
Mas temos duas restrições: a área da superfície e a soma das arestas. Para facilitar, já que temos
, podemos usar isso para expressar uma das variáveis em termos das outras duas. Porém, como o Método de Lagrange lida com múltiplas restrições, vamos aplicar diretamente essa técnica.
Passo 4
No Método de Lagrange, introduzimos multiplicadores (λ e μ) para cada restrição. Nossa função para maximizar ou minimizar é:
Para encontrar os pontos críticos, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
,
,
e
e igualá-las a zero.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas parciais:
- Com relação a
:
- Com relação a
:
- Com relação a
:
- Com relação a
:
- Com relação a
:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema de equações. Observando as primeiras três equações, podemos notar que elas são simétricas em
,
e
. Isso sugere que uma solução possível é
. Vamos verificar se essa igualdade satisfaz as restrições.
Se
, então:
- Soma das arestas:
- Área da superfície:
Aqui vemos uma inconsistência, indicando que
não satisfaz ambas as restrições simultaneamente. Portanto, precisamos considerar que pelo menos duas das dimensões são iguais para simplificar.
Passo 7
Vamos assumir que duas dimensões são iguais, digamos
. Então, usando a soma das arestas:
Agora, aplicamos na área da superfície:
Substituindo
:
Simplificando:
Dividindo por -6:
Passo 8
Resolvendo essa equação quadrática para
:
Calculando o discriminante:
Então:
Assim, temos duas soluções:
Passo 9
Com
, temos
Com
, temos
Agora, calculamos os volumes correspondentes:
- Para
:
- Para
:
Resposta
O volume mínimo da caixa é aproximadamente 2950 cm³ e o volume máximo é aproximadamente 3500 cm³.