(2 pts.) Determine f^(n)(0), para todo n pertencente aos números naturais, para f(x) = cos(x^2).

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a n-ésima derivada de avaliada em 0, ou seja, para todo natural. Para isso, vamos usar a série de Taylor da função cosseno e entender como as derivadas se comportam nessa expressão.

Passo 2

Primeiro, lembremos que a série de Taylor para a função em torno de 0 é dada por:
Como nossa função é , basta substituir por na série:
Isso significa que a série de Taylor de só contém termos com potências de múltiplos de 4.

Passo 3

Na série de Taylor, os coeficientes dos termos correspondem às derivadas de ordem avaliadas em 0, divididas por , ou seja:
é
Observando a série que obtivemos:
Vemos que só existem termos para . Portanto, para que não é múltiplo de 4, os coeficientes são zero.

Passo 4

Para , o coeficiente de na série é . Aplicando a fórmula das derivadas:
Simplificando, temos:

Resposta

Para todo , a n-ésima derivada de avaliada em 0 é dada por:
á

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