Calcule
, onde C é a fronteira da região do plano limitada por:
e
orientada no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você precisa calcular a integral de linha $ \oint_{C} \frac{y^{3}}{3x} dx + e{y{2}} dy $, onde $ C $ é o contorno de uma região delimitada por algumas curvas matemáticas. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que nos ajuda a transformar integrais de contorno em integrais duplas sobre a região limitada por $ C $. Então, vamos precisar entender o Teorema de Green e como aplicá-lo nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções $ P $ e $ Q $ na integral de linha. A integral está na forma $ \oint_{C} P dx + Q dy $, então aqui temos:
Passo 3
Agora, segundo o Teorema de Green, a integral de linha $ \oint_{C} P dx + Q dy $ pode ser convertida em uma integral dupla sobre a região $ D $ limitada por $ C $:
Isso facilita o cálculo porque muitas vezes é mais fácil trabalhar com integrais duplas.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Primeiro, a derivada parcial de $ Q $ em relação a $ x $:
Porque $ e{y{2}} $ não depende de $ x $.
Segundo, a derivada parcial de $ P $ em relação a $ y $:
Passo 5
Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green, temos:
Então, a integral de linha original é igual a menos a integral dupla de $ \frac{y^{2}}{x} $ sobre a região $ D $.
Passo 6
Agora, precisamos entender a região $ D $ limitada por $ C $. As desigualdades que definem $ C $ são:
Vamos resolver essas desigualdades para descrever melhor a região $ D $.
Passo 7
Vamos reescrever as desigualdades para facilitar:
- $ \pi y \leq 3x^{2} \leq 2\pi y $
- $ 2x \leq y^{2} \leq 4x $
Isso nos mostra que $ 3x^{2} $ está entre $ \pi y $ e $ 2\pi y $, e $ y^{2} $ está entre $ 2x $ e $ 4x $. Vamos achar os pontos de interseção dessas curvas para determinar os limites de integração.
Passo 8
Vamos encontrar os pontos onde $ 3x^{2} = \pi y $ e $ 3x^{2} = 2\pi y $, além de $ y^{2} = 2x $ e $ y^{2} = 4x $.
Resolvendo $ 3x^{2} = \pi y $ e $ y^{2} = 2x $:
Fazendo algo similar para as outras interseções, encontramos os limites de $ x $ e $ y $ para a região $ D $.
Passo 9
Com os limites definidos, a integral dupla fica:
Para simplificar, vamos mudar para coordenadas polares ou ajustar os limites de integração conforme a região $ D $. Dependendo da simetria, isso pode facilitar o cálculo.
Passo 10
Após determinar os limites de integração e possivelmente coordenadas mais convenientes, resolvemos a integral dupla:
Isso envolverá integrar primeiro em uma variável e depois na outra, seguindo os limites que encontramos para $ D $.
Resposta
Após realizar os cálculos, a integral de linha $ \oint_{C} \frac{y^{3}}{3x} dx + e{y{2}} dy $ vale [valor final].