1. Determine se:
W=\left\{(x, y, z): x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}
é subespaço.

Passo 1

O enunciado dá o subconjunto
W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\}
e pede para determinar se W é um subespaço (do espaço vetorial \mathbb{R}^3). Informações relevantes fornecidas:
  • A condição que define W é a equação \,x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, isto é, W é o conjunto de vetores de norma ao quadrado igual a 1.
  • Não há outras restrições dadas; o universo implícito é \mathbb{R}^3.
    A pergunta é única: decidir se W é subespaço (sim ou não).

Passo 2

Definição prática que vamos usar: um subconjunto U de \mathbb{R}^3 é subespaço vetorial se e somente se satisfaz três propriedades (ou uma versão equivalente):
  1. U contém o vetor nulo \mathbf{0}=(0,0,0).
  2. U é fechado sob adição: se \mathbf{u},\mathbf{v}\in U então \mathbf{u}+\mathbf{v}\in U.
  3. U é fechado sob multiplicação por escalares: se \mathbf{u}\in U e c\in\mathbb{R} então c\mathbf{u}\in U.
Explicação das condições (passo a passo, como lembrar na prova):
  • A presença do vetor nulo é obrigatória porque, se U for subespaço, então para qualquer \mathbf{u}\in U temos 0\cdot\mathbf{u}=\mathbf{0}\in U.
  • Fechamento por adição e por escalares garante que combinações lineares (que aparecem em provas) permanecem em U; é a essência de ser um espaço vetorial.

Passo 3

Verificar a condição do vetor nulo em W.
  • Calcular a soma de quadrados para o vetor nulo: para \mathbf{0}=(0,0,0) tem-se
0^{2}+0^{2}+0^{2}=0\neq 1.
  • Conclusão: o vetor nulo \mathbf{0} não pertence a W.
Didática: na prova, esse é o teste mais rápido. Se o conjunto não contém \mathbf{0}, ele já não pode ser subespaço, não precisando checar as outras propriedades (mas é útil ver exemplos concretos).

Passo 4

Mostrar, com exemplo concreto, que a propriedade de multiplicação por escalares falha em W (é um contraexemplo simples que ajuda na prova).
  • Tome o vetor \mathbf{v}=(1,0,0). Verificar que \mathbf{v}\in W:
1^{2}+0^{2}+0^{2}=1,
portanto \mathbf{v}\in W.
  • Multiplique por um escalar, por exemplo c=2. Então
2\mathbf{v}=(2,0,0)
e
2^{2}+0^{2}+0^{2}=4\neq 1,
logo 2\mathbf{v}\notin W.
Explicação didática: para ser subespaço, qualquer escalar vezes um vetor do conjunto precisa permanecer no conjunto. Aqui vemos que já com o escalar 2 isso falha; portanto W não é fechado por multiplicação escalar.

Passo 5

Comentário geométrico e interpretação útil para a prova.
  • A condição \,x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 descreve a esfera unitária centrada na origem em \mathbb{R}^3.
  • Geometricamente: uma esfera unitária não é um subespaço porque, por exemplo, a soma de dois pontos na esfera geralmente não está na esfera (soma desloca para dentro ou para fora) e escalares com módulo diferente de 1 levam pontos para raios diferentes. Além disso, o centro da esfera (a origem) não pertence à superfície da esfera.
Didática: associar a forma geométrica ajuda a lembrar rapidamente na prova porque subespaços passam pela origem e são “planos” (linhas, planos, ou todo \mathbb{R}^3), nunca uma esfera de raio fixo.

Passo 6

Síntese lógica do que já foi mostrado (sem repetir a resposta final):
  • Encontrou-se que \mathbf{0}\notin W.
  • Apresentou-se um contraexemplo concreto ( \mathbf{v}=(1,0,0) e 2\mathbf{v}) mostrando que W não é fechado sob multiplicação por escalares.
    Esses fatos são suficientes para concluir que W não satisfaz as condições necessárias para ser subespaço.

Resposta

Não, W não é subespaço de \mathbb{R}^3.

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