- Determine se:
é subespaço.
Passo 1
O enunciado dá o subconjunto
e pede para determinar se
é um subespaço (do espaço vetorial
). Informações relevantes fornecidas:
- A condição que define
é a equação , isto é, é o conjunto de vetores de norma ao quadrado igual a . - Não há outras restrições dadas; o universo implícito é
.
A pergunta é única: decidir seé subespaço (sim ou não).
Passo 2
Definição prática que vamos usar: um subconjunto
de
é subespaço vetorial se e somente se satisfaz três propriedades (ou uma versão equivalente):
-
contém o vetor nulo . -
é fechado sob adição: se então . -
é fechado sob multiplicação por escalares: se e então .
Explicação das condições (passo a passo, como lembrar na prova):
- A presença do vetor nulo é obrigatória porque, se
for subespaço, então para qualquer temos . - Fechamento por adição e por escalares garante que combinações lineares (que aparecem em provas) permanecem em
; é a essência de ser um espaço vetorial.
Passo 3
Verificar a condição do vetor nulo em
.
- Calcular a soma de quadrados para o vetor nulo: para
tem-se
- Conclusão: o vetor nulo
não pertence a .
Didática: na prova, esse é o teste mais rápido. Se o conjunto não contém
, ele já não pode ser subespaço, não precisando checar as outras propriedades (mas é útil ver exemplos concretos).
Passo 4
Mostrar, com exemplo concreto, que a propriedade de multiplicação por escalares falha em
(é um contraexemplo simples que ajuda na prova).
- Tome o vetor
. Verificar que :
portanto
.
- Multiplique por um escalar, por exemplo
. Então
e
logo
.
Explicação didática: para ser subespaço, qualquer escalar vezes um vetor do conjunto precisa permanecer no conjunto. Aqui vemos que já com o escalar
isso falha; portanto
não é fechado por multiplicação escalar.
Passo 5
Comentário geométrico e interpretação útil para a prova.
- A condição
descreve a esfera unitária centrada na origem em . - Geometricamente: uma esfera unitária não é um subespaço porque, por exemplo, a soma de dois pontos na esfera geralmente não está na esfera (soma desloca para dentro ou para fora) e escalares com módulo diferente de
levam pontos para raios diferentes. Além disso, o centro da esfera (a origem) não pertence à superfície da esfera.
Didática: associar a forma geométrica ajuda a lembrar rapidamente na prova porque subespaços passam pela origem e são “planos” (linhas, planos, ou todo
), nunca uma esfera de raio fixo.
Passo 6
Síntese lógica do que já foi mostrado (sem repetir a resposta final):
- Encontrou-se que
. - Apresentou-se um contraexemplo concreto (
e ) mostrando que não é fechado sob multiplicação por escalares.
Esses fatos são suficientes para concluir quenão satisfaz as condições necessárias para ser subespaço.
Resposta
Não,
não é subespaço de
.