If the function
is
-periodic, show that the function
is also
-periodic in the case that:
, where
is a real constant.
Passo 1
O que o enunciado dá:
- Uma função
é -periódica, isto é, sabe-se que para todo . - Define-se
por , onde é uma constante.
O que é pedido:
- Mostrar que
também é -periódica, ou seja, provar que para todo .
Passo 2
Recordando a definição de periodicidade (explicação didática):
- Dizer que uma função
é -periódica significa exatamente que adicionar ao argumento não altera o valor da função: para todo ,
- Aqui
é a variável independente (tempo, por exemplo), é um período e é apenas um deslocamento (uma constante). O objetivo é verificar a mesma propriedade para .
Passo 3
Vamos calcular
em termos de
, passo a passo (mostrando exatamente cada substituição):
Agora usamos a propriedade associativa da soma para agrupar
como
:
Como
é
-periódica, podemos aplicar
com
. Assim
Mas
é exatamente
. Portanto,
Passo 4
Interpretação e conclusão (didática):
- A igualdade
vale para todo . Isso prova que é um período de . - Intuitivamente: deslocar a entrada de uma função periódica (trocar
por ) não altera o comportamento de repetição; a curva apenas é deslocada ao longo do eixo , mantendo o mesmo período. - Observação adicional (útil na prova): se
for o menor período positivo de (período fundamental), pode acontecer que tenha o mesmo período fundamental ou um divisor comum; de qualquer forma continua sendo um período de .
Passo 5
Exemplo concreto para fixar (rápido):
- Tome
, que é -periódica. Defina . Repetindo o cálculo,
logo
é
-periódica — exatamente o mesmo raciocínio que a prova geral usa.