If the function x is T-periodic, show that the function y is also T-periodic in the case that:
y(t)=x(t-c), where c is a real constant.

Passo 1

O que o enunciado dá:
  • Uma função x é T-periódica, isto é, sabe-se que x(t+T)=x(t) para todo t.
  • Define-se y por y(t)=x(t-c), onde c\in\mathbb{R} é uma constante.
O que é pedido:
  • Mostrar que y também é T-periódica, ou seja, provar que y(t+T)=y(t) para todo t.

Passo 2

Recordando a definição de periodicidade (explicação didática):
  • Dizer que uma função x é T-periódica significa exatamente que adicionar T ao argumento não altera o valor da função: para todo t,
x(t+T)=x(t).
  • Aqui t é a variável independente (tempo, por exemplo), T>0 é um período e c é apenas um deslocamento (uma constante). O objetivo é verificar a mesma propriedade para y.

Passo 3

Vamos calcular y(t+T) em termos de x, passo a passo (mostrando exatamente cada substituição):
y(t+T)=x\big((t+T)-c\big).
Agora usamos a propriedade associativa da soma para agrupar (t+T)-c como (t-c)+T:
x\big((t+T)-c\big)=x\big((t-c)+T\big).
Como x é T-periódica, podemos aplicar x(u+T)=x(u) com u=t-c. Assim
x\big((t-c)+T\big)=x(t-c).
Mas x(t-c) é exatamente y(t). Portanto,
y(t+T)=x\big((t+T)-c\big)=x(t-c)=y(t).

Passo 4

Interpretação e conclusão (didática):
  • A igualdade \,y(t+T)=y(t)\, vale para todo t. Isso prova que T é um período de y.
  • Intuitivamente: deslocar a entrada de uma função periódica (trocar t por t-c) não altera o comportamento de repetição; a curva apenas é deslocada ao longo do eixo t, mantendo o mesmo período.
  • Observação adicional (útil na prova): se T for o menor período positivo de x (período fundamental), pode acontecer que y tenha o mesmo período fundamental ou um divisor comum; de qualquer forma T continua sendo um período de y.

Passo 5

Exemplo concreto para fixar (rápido):
  • Tome x(t)=\sin t, que é 2\pi-periódica. Defina y(t)=\sin(t-c). Repetindo o cálculo,
y(t+2\pi)=\sin(t+2\pi-c)=\sin((t-c)+2\pi)=\sin(t-c)=y(t),
logo y é 2\pi-periódica — exatamente o mesmo raciocínio que a prova geral usa.

Resposta

y é T-periódica.

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