Determine whether each function x given below is even, odd, or neither even nor odd.
x(t)=e^{-|t|} \sin (t)

Passo 1

O enunciado dá a função x(t)=e^{-|t|}\sin(t) e pede para dizer se ela é par, ímpar ou nenhuma das duas. Informação relevante fornecida:
  • A expressão da função é x(t)=e^{-|t|}\sin(t).
  • A pergunta é: x é par, ímpar ou nenhuma das duas?

Passo 2

Primeiro, lembrar as definições (isto é importante para a prova):
  • Uma função f é par se, para todo t, valer \;f(-t)=f(t).
  • Uma função f é ímpar se, para todo t, valer \;f(-t)=-f(t).
    A estratégia padrão é calcular x(-t) e comparar com x(t) e com -x(t).

Passo 3

Observar propriedades das partes da função:
  • O módulo satisfaz |-t|=|t| para todo t. Por isso a função t\mapsto e^{-|t|} depende só de |t| e é uma função par. Em símbolos:
e^{-| -t |}=e^{-|t|}.
(Exemplo concreto: |-3|=3=|3|, logo e^{-| -3|}=e^{-3}=e^{-|3|}.)

Passo 4

Outra parte: a função seno é ímpar. Ou seja,
\sin(-t)=-\sin(t)
para todo t. Essa é uma propriedade básica do seno (simétrica em relação à origem).

Passo 5

Agora calcular x(-t) usando as duas observações anteriores:
x(-t)=e^{-| -t |}\sin(-t).
Substituindo |-t|=|t| e \sin(-t)=-\sin(t) obtemos
x(-t)=e^{-|t|}\bigl(-\sin(t)\bigr)=-e^{-|t|}\sin(t)=-x(t).
Portanto x(-t)=-x(t) para todo t, que é exatamente a condição de função ímpar.

Passo 6

Como verificação rápida: uma função ímpar deve satisfazer x(0)=0. De fato,
x(0)=e^{-|0|}\sin(0)=e^{0}\cdot 0=0,
logo é consistente com ser ímpar.

Resposta

ímpar

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