Determine whether each function
given below is even, odd, or neither even nor odd.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para dizer se ela é par, ímpar ou nenhuma das duas. Informação relevante fornecida:
- A expressão da função é
. - A pergunta é:
é par, ímpar ou nenhuma das duas?
Passo 2
Primeiro, lembrar as definições (isto é importante para a prova):
- Uma função
é par se, para todo , valer . - Uma função
é ímpar se, para todo , valer .
A estratégia padrão é calculare comparar com e com .
Passo 3
Observar propriedades das partes da função:
- O módulo satisfaz
para todo . Por isso a função depende só de e é uma função par. Em símbolos:
(Exemplo concreto:
, logo
.)
Passo 4
Outra parte: a função seno é ímpar. Ou seja,
para todo
. Essa é uma propriedade básica do seno (simétrica em relação à origem).
Passo 5
Agora calcular
usando as duas observações anteriores:
Substituindo
e
obtemos
Portanto
para todo
, que é exatamente a condição de função ímpar.
Passo 6
Como verificação rápida: uma função ímpar deve satisfazer
. De fato,
logo é consistente com ser ímpar.
Resposta
ímpar