\frac{dy}{dx}\big(e^{x} + x e^{y}\big) = -\big(y e^{x} + e^{y}\big),
portanto
\frac{dy}{dx} = -\frac{y e^{x} + e^{y}}{e^{x} + x e^{y}}.
Essa é a expressão geral da derivada implícita \dfrac{dy}{dx} em termos de x e y.
Passo 5
Agora substituo o ponto conhecido x=1 e y=1 (foi dado que f(1)=1). Primeiro avalio exponenciais: e^{1}=e.
Numerador:
y e^{x} + e^{y} \bigg|_{(1,1)} = 1\cdot e + e = 2e.
Denominador:
e^{x} + x e^{y} \bigg|_{(1,1)} = e + 1\cdot e = 2e.
Substituindo na fórmula:
\frac{dy}{dx}\Bigg|_{x=1} = -\frac{2e}{2e} = -1.
Passo 6
Interpretação rápida e incentivo: a derivada saiu exatamente -1, o que significa que, naquele ponto, um aumento pequeno em x provoca uma diminuição igual em y. Bom trabalho em acompanhar cada passo — você já tem a técnica para fazer isso em outras equações implícitas semelhantes!