Questão 6. Calcule \frac{d y}{d x} em x=1 sabendo que y=f(x) é função dada implicitamente pela equação
y e^{x}+x e^{y}=2 e
e também que f(1)=1.

Passo 1

O enunciado nos dá claramente as seguintes informações e pede isto:
  • Informações fornecidas:
    • A função y=f(x) é definida implicitamente pela equação y e^{x} + x e^{y} = 2 e.
    • Sabe-se que f(1)=1, isto é, no ponto x=1 temos y=1.
  • O que o enunciado pede:
    • Calcular \dfrac{d y}{d x} no ponto x=1, usando a relação acima e a condição f(1)=1.

Passo 2

Antes de derivar a equação, vamos lembrar e entender as regras que vou usar (explicação didática e exemplos simples).
  • Regra do produto: se duas funções dependem de x, u(x) e v(x), então a derivada do produto é
    \frac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
    Exemplo simples: \dfrac{d}{dx}\big(x\cdot\sin x\big)=1\cdot\sin x + x\cdot\cos x.
  • Regra da cadeia (aplicada a exponencial): se u(x) é uma função de x, então
    \frac{d}{dx}\big(e^{u(x)}\big)=e^{u(x)}\cdot u'(x).
    Exemplo: \dfrac{d}{dx}e^{2x}=e^{2x}\cdot 2.
  • Como vamos aplicar na prática:
    • Para o termo y e^{x}: trata-se de produto entre y(x) e e^{x}. Então usamos a regra do produto, lembrando que y' significa \dfrac{dy}{dx}.
    • Para o termo x e^{y}: também é produto, e ao derivar e^{y(x)} aplicamos a regra da cadeia, obtendo e^{y}\cdot y'.
Agora que as ferramentas estão claras, vamos diferenciar a equação dada termo a termo.

Passo 3

Derivando ambos os lados da equação
y e^{x} + x e^{y} = 2 e
em relação a x:
  • Derivada de y e^{x} (produto): \dfrac{d}{dx}(y e^{x}) = \dfrac{dy}{dx} \, e^{x} + y \, e^{x}.
  • Derivada de x e^{y} (produto e cadeia): \dfrac{d}{dx}(x e^{y}) = 1\cdot e^{y} + x\cdot \dfrac{d}{dx}(e^{y}) = e^{y} + x\, e^{y}\, \dfrac{dy}{dx}.
  • Derivada do lado direito 2e (constante): 0.
Somando as derivadas e igualando a zero:
\frac{dy}{dx} e^{x} + y e^{x} + e^{y} + x e^{y} \frac{dy}{dx} = 0.

Passo 4

Isolando os termos que contêm \dfrac{dy}{dx} e os que são só funções de x e y:
Colocando \dfrac{dy}{dx} em evidência:
\frac{dy}{dx}\big(e^{x} + x e^{y}\big) + \big(y e^{x} + e^{y}\big) = 0.
Agora resolvo para \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx}\big(e^{x} + x e^{y}\big) = -\big(y e^{x} + e^{y}\big),
portanto
\frac{dy}{dx} = -\frac{y e^{x} + e^{y}}{e^{x} + x e^{y}}.
Essa é a expressão geral da derivada implícita \dfrac{dy}{dx} em termos de x e y.

Passo 5

Agora substituo o ponto conhecido x=1 e y=1 (foi dado que f(1)=1). Primeiro avalio exponenciais: e^{1}=e.
  • Numerador:
    y e^{x} + e^{y} \bigg|_{(1,1)} = 1\cdot e + e = 2e.
  • Denominador:
    e^{x} + x e^{y} \bigg|_{(1,1)} = e + 1\cdot e = 2e.
Substituindo na fórmula:
\frac{dy}{dx}\Bigg|_{x=1} = -\frac{2e}{2e} = -1.

Passo 6

Interpretação rápida e incentivo: a derivada saiu exatamente -1, o que significa que, naquele ponto, um aumento pequeno em x provoca uma diminuição igual em y. Bom trabalho em acompanhar cada passo — você já tem a técnica para fazer isso em outras equações implícitas semelhantes!

Resposta

-1

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