Questão 5. Encontre a reta tangente ao gráfico de f(x)=\ln \left(x^{2}+2 x+1\right) que seja paralela à reta y=2 x-4.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a reta tangente ao gráfico de f(x)=\ln\big(x^{2}+2x+1\big) que seja paralela à reta y=2x-4.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A função é f(x)=\ln\big(x^{2}+2x+1\big).
  • A reta dada tem coeficiente angular (inclinação) igual a 2 porque é da forma y=2x-4.
  • Precisamos achar a(s) reta(s) tangente(s) ao gráfico de f cuja inclinação seja 2 (ou seja, paralelas à reta dada).
  • Para cada reta tangente, devemos fornecer sua equação.

Passo 2

Ideia geral (sem resolver ainda): a derivada f'(x) em um ponto x=a dá a inclinação da reta tangente ao gráfico de f naquele ponto. Logo, retas tangentes paralelas à y=2x-4 satisfazem
f'(a)=2.
Depois de achar tal a, a equação da reta tangente no ponto x=a pode ser escrita pela forma ponto-inclinação:
\text{reta tangente em }x=a:\quad y=f'(a)\,(x-a)+f(a).
Antes de aplicar, vou explicar a regra que vou usar para derivar f:
  • Se f(x)=\ln(u(x)), então por derivação em cadeia vale
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Aqui u(x)=x^{2}+2x+1. Vou calcular u'(x) e aplicar a fórmula acima.

Passo 3

Calcular u(x) e u'(x):
u(x)=x^{2}+2x+1=(x+1)^{2},
u'(x)=2x+2=2(x+1).
Aplicando a regra da derivada do logaritmo:
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{2(x+1)}{(x+1)^{2}}.
Simplificando (para x\neq-1, pois em x=-1 o argumento do logaritmo é zero e f não está definida):
f'(x)=\frac{2}{x+1},\qquad x\neq-1.

Passo 4

Agora imponho que a inclinação da tangente seja 2:
f'(x)=2 \quad\Rightarrow\quad \frac{2}{x+1}=2.
Divido ambos os lados por 2:
\frac{1}{x+1}=1.
Então
x+1=1 \quad\Rightarrow\quad x=0.
Verificação de domínio: x=0 não é -1, logo f está definida em x=0 e a derivada também. Portanto x=0 é uma solução válida.

Passo 5

Calcular o ponto do gráfico em x=0:
f(0)=\ln\big((0)^{2}+2\cdot0+1\big)=\ln(1)=0.
Logo o ponto de tangência é (0,0).

Passo 6

Montar a equação da reta tangente usando a forma ponto-inclinação com a=0 e f'(0)=2:
y=f'(0)\,(x-0)+f(0)=2x+0.
Portanto a reta tangente procurada é y=2x. Observação: sua inclinação é 2, portanto é paralela a y=2x-4, conforme pedido.

Resposta

y=2x

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