Questão 5. Encontre a reta tangente ao gráfico de
que seja paralela à reta
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a reta tangente ao gráfico de
que seja paralela à reta
.
Informações dadas e o que é pedido:
- A função é
. - A reta dada tem coeficiente angular (inclinação) igual a
porque é da forma . - Precisamos achar a(s) reta(s) tangente(s) ao gráfico de
cuja inclinação seja (ou seja, paralelas à reta dada). - Para cada reta tangente, devemos fornecer sua equação.
Passo 2
Ideia geral (sem resolver ainda): a derivada
em um ponto
dá a inclinação da reta tangente ao gráfico de
naquele ponto. Logo, retas tangentes paralelas à
satisfazem
Depois de achar tal
, a equação da reta tangente no ponto
pode ser escrita pela forma ponto-inclinação:
Antes de aplicar, vou explicar a regra que vou usar para derivar
:
- Se
, então por derivação em cadeia vale
Aqui
. Vou calcular
e aplicar a fórmula acima.
Passo 3
Calcular
e
:
Aplicando a regra da derivada do logaritmo:
Simplificando (para
, pois em
o argumento do logaritmo é zero e
não está definida):
Passo 4
Agora imponho que a inclinação da tangente seja
:
Divido ambos os lados por
:
Então
Verificação de domínio:
não é
, logo
está definida em
e a derivada também. Portanto
é uma solução válida.
Passo 5
Calcular o ponto do gráfico em
:
Logo o ponto de tangência é
.
Passo 6
Montar a equação da reta tangente usando a forma ponto-inclinação com
e
:
Portanto a reta tangente procurada é
. Observação: sua inclinação é
, portanto é paralela a
, conforme pedido.