Determine whether each sequence x given below is even, odd, or neither even nor odd.
x(n)=n+1

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência x é par, ímpar ou nenhuma das duas. A sequência dada é
x(n)=n+1.
Informações relevantes e suposições que vou usar (peguei a fórmula acima do enunciado):
  • A expressão da sequência é \,x(n)=n+1.
  • Vou assumir que o índice n pode ser qualquer inteiro, isto é, n\in\mathbb{Z}. (Para falar de sequência par/ímpar é comum considerar índices negativos também.)
  • O que é pedido: verificar se vale a igualdade que define sequência par para todo n, ou a igualdade que define sequência ímpar para todo n, ou se não vale nenhuma das duas.

Passo 2

Definições (explicadas de forma simples):
  • Uma sequência x é dita par se, para todo n, vale
x(-n)=x(n).
Isto significa que, ao trocar n por -n, o valor da sequência não muda.
  • Uma sequência x é dita ímpar se, para todo n, vale
x(-n)=-x(n).
Isto significa que, ao trocar n por -n, o valor da sequência fica exatamente com o sinal trocado.
Aqui, "para todo n" é importante: basta que uma das igualdades falhe para algum n para que a sequência não seja par/ímpar, respectivamente.

Passo 3

Calcular x(-n) aplicando a fórmula da sequência:
x(-n)=(-n)+1=-n+1.
Expliquei: substituiu-se n por -n diretamente na expressão n+1.

Passo 4

Teste de paridade (sequência par): comparar x(-n) com x(n).
x(-n)\stackrel{?}{=}x(n)\quad\Longrightarrow\quad -n+1 \stackrel{?}{=} n+1.
Resolver essa igualdade:
-n+1=n+1 \quad\Rightarrow\quad -n=n \quad\Rightarrow\quad 2n=0 \quad\Rightarrow\quad n=0.
Interpretação: essa igualdade só é verdadeira quando n=0. Mas a definição de sequência par exige que a igualdade seja verdadeira para todo n\in\mathbb{Z}. Como ela falha para, por exemplo, n=1, a sequência não é par.

Passo 5

Teste de imparidade (sequência ímpar): comparar x(-n) com -x(n).
x(-n)\stackrel{?}{=}-x(n)\quad\Longrightarrow\quad -n+1 \stackrel{?}{=} -(n+1) = -n-1.
Resolver essa igualdade:
-n+1=-n-1 \quad\Rightarrow\quad 1=-1,
que é uma contradição impossível. Logo não existe n (nem mesmo n=0) que satisfaça essa igualdade; portanto a igualdade não vale para todo n — a sequência não é ímpar.

Passo 6

Verificação numérica rápida para fixar a ideia:
  • Para n=1: x(1)=1+1=2 e x(-1)=-1+1=0. Como x(-1)\neq x(1) e x(-1)\neq -x(1), confirma-se que não é nem par nem ímpar.
  • Para n=0: x(0)=1 e x(-0)=1; aí a igualdade para par vale, mas isso isolado não basta.

Passo 7

Conclusão: a sequência não satisfaz a condição de ser par para todos os n, nem satisfaz a condição de ser ímpar para todos os n. Portanto é nenhuma das duas.

Resposta

nem par nem ímpar

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