Determine whether each sequence
given below is even, odd, or neither even nor odd.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a sequência
é par, ímpar ou nenhuma das duas. A sequência dada é
Informações relevantes e suposições que vou usar (peguei a fórmula acima do enunciado):
- A expressão da sequência é
- Vou assumir que o índice
pode ser qualquer inteiro, isto é, . (Para falar de sequência par/ímpar é comum considerar índices negativos também.) - O que é pedido: verificar se vale a igualdade que define sequência par para todo
, ou a igualdade que define sequência ímpar para todo , ou se não vale nenhuma das duas.
Passo 2
Definições (explicadas de forma simples):
- Uma sequência
é dita par se, para todo , vale
Isto significa que, ao trocar
por
, o valor da sequência não muda.
- Uma sequência
é dita ímpar se, para todo , vale
Isto significa que, ao trocar
por
, o valor da sequência fica exatamente com o sinal trocado.
Aqui, "para todo " é importante: basta que uma das igualdades falhe para algum
para que a sequência não seja par/ímpar, respectivamente.
Aqui, "para todo
Passo 3
Calcular
aplicando a fórmula da sequência:
Expliquei: substituiu-se
por
diretamente na expressão
.
Passo 4
Teste de paridade (sequência par): comparar
com
.
Resolver essa igualdade:
Interpretação: essa igualdade só é verdadeira quando
. Mas a definição de sequência par exige que a igualdade seja verdadeira para todo
. Como ela falha para, por exemplo,
, a sequência não é par.
Passo 5
Teste de imparidade (sequência ímpar): comparar
com
.
Resolver essa igualdade:
que é uma contradição impossível. Logo não existe
(nem mesmo
) que satisfaça essa igualdade; portanto a igualdade não vale para todo
— a sequência não é ímpar.
Passo 6
Verificação numérica rápida para fixar a ideia:
- Para
: e . Como e , confirma-se que não é nem par nem ímpar. - Para
: e ; aí a igualdade para par vale, mas isso isolado não basta.
Passo 7
Conclusão: a sequência não satisfaz a condição de ser par para todos os
, nem satisfaz a condição de ser ímpar para todos os
. Portanto é nenhuma das duas.
Resposta
nem par nem ímpar