Prove each of the assertions given below.
The sum of an even sequence and an odd sequence, where neither of the sequences is identically zero, is neither even nor odd.
The sum of an even sequence and an odd sequence, where neither of the sequences is identically zero, is neither even nor odd.
Passo 1
O enunciado dá duas sequências
e
com as seguintes informações:
-
é uma sequência par, isto é, vale para todo . -
é uma sequência ímpar, isto é, vale para todo . - Nenhuma das duas sequências é identicamente zero (ou seja, existem índices em que
e existem índices em que ).
O que se pede: provar que a soma
, definida por
para todo
, não é nem par nem ímpar.
Passo 2
Definições e observações úteis (explicadas com calma).
- Definição de sequência par: uma sequência
é par se, para todo , vale
Isto significa que os elementos são simétricos em torno do índice
.
- Definição de sequência ímpar: uma sequência
é ímpar se, para todo , vale
Uma consequência imediata dessa definição é que, tomando
, obtemos
, e portanto
Ou seja, toda sequência ímpar tem o termo de índice
igual a zero.
- Exemplos concretos (para fixar a ideia): a sequência
(constante) é par porque . A sequência (considerando índices em ) é ímpar porque .
Passo 3
Estratégia do argumento: vamos provar, por contradição direta em cada caso, que
não pode ser par e também não pode ser ímpar. Primeiro mostramos que não pode ser par.
Suponha, para chegar a uma contradição, que
seja par. Então, para todo
,
Escrevendo
como soma de
e
obtemos
Usando as propriedades de paridade de
e
(isto é,
e
), a igualdade vira
Subtraindo
de ambos os lados:
Isto implica
ou seja,
para todo
. Isso significa que
seria identicamente zero, o que contradiz a hipótese de que
não é identicamente zero. Logo a suposição de que
é par é impossível. Conclusão parcial:
não é par.
Passo 4
Agora mostramos que
não pode ser ímpar.
Suponha, novamente para obter contradição, que
seja ímpar. Então, para todo
,
Escrevendo
dá
Usando
e
obtemos
Somando
aos dois lados e então somando
aos dois lados, ou simplesmente reorganizando, fica
ou seja
para todo
. Isso significa que
seria identicamente zero, contradizendo a hipótese de que
não é identicamente zero. Portanto a suposição de que
é ímpar é impossível. Conclusão parcial:
não é ímpar.
Passo 5
Juntando as conclusões dos passos anteriores:
não pode ser par (Passo 3) e também não pode ser ímpar (Passo 4). Assim provou-se que, sempre que
é par não identicamente zero e
é ímpar não identicamente zero, a soma
é nem par nem ímpar.
Resposta
A soma de uma sequência par e uma sequência ímpar, quando nenhuma das duas é identicamente zero, não é nem par nem ímpar.