Prove each of the assertions given below.
The sum of an even sequence and an odd sequence, where neither of the sequences is identically zero, is neither even nor odd.

Passo 1

O enunciado dá duas sequências e=(e_n)_{n\in\mathbb{Z}} e o=(o_n)_{n\in\mathbb{Z}} com as seguintes informações:
  • e é uma sequência par, isto é, vale e_{-n}=e_n para todo n\in\mathbb{Z}.
  • o é uma sequência ímpar, isto é, vale o_{-n}=-o_n para todo n\in\mathbb{Z}.
  • Nenhuma das duas sequências é identicamente zero (ou seja, existem índices em que e_n\neq 0 e existem índices em que o_n\neq 0).
O que se pede: provar que a soma s=e+o, definida por s_n=e_n+o_n para todo n, não é nem par nem ímpar.

Passo 2

Definições e observações úteis (explicadas com calma).
  • Definição de sequência par: uma sequência a=(a_n) é par se, para todo n\in\mathbb{Z}, vale
a_{-n}=a_n.
Isto significa que os elementos são simétricos em torno do índice 0.
  • Definição de sequência ímpar: uma sequência b=(b_n) é ímpar se, para todo n\in\mathbb{Z}, vale
b_{-n}=-b_n.
Uma consequência imediata dessa definição é que, tomando n=0, obtemos b_0=-b_0, e portanto
b_0=0.
Ou seja, toda sequência ímpar tem o termo de índice 0 igual a zero.
  • Exemplos concretos (para fixar a ideia): a sequência e_n = 2 (constante) é par porque e_{-n}=2=e_n. A sequência o_n = n (considerando índices em \mathbb{Z}) é ímpar porque o_{-n}=-n=-o_n.

Passo 3

Estratégia do argumento: vamos provar, por contradição direta em cada caso, que s=e+o não pode ser par e também não pode ser ímpar. Primeiro mostramos que não pode ser par.
Suponha, para chegar a uma contradição, que s seja par. Então, para todo n\in\mathbb{Z},
s_{-n}=s_n.
Escrevendo s como soma de e e o obtemos
e_{-n}+o_{-n}=e_n+o_n.
Usando as propriedades de paridade de e e o (isto é, e_{-n}=e_n e o_{-n}=-o_n), a igualdade vira
e_n - o_n = e_n + o_n.
Subtraindo e_n de ambos os lados:
- o_n = o_n.
Isto implica
2\,o_n=0,
ou seja,
o_n=0
para todo n\in\mathbb{Z}. Isso significa que o seria identicamente zero, o que contradiz a hipótese de que o não é identicamente zero. Logo a suposição de que s é par é impossível. Conclusão parcial: s não é par.

Passo 4

Agora mostramos que s não pode ser ímpar.
Suponha, novamente para obter contradição, que s seja ímpar. Então, para todo n\in\mathbb{Z},
s_{-n}=-s_n.
Escrevendo s=e+o
e_{-n}+o_{-n}=-(e_n+o_n).
Usando e_{-n}=e_n e o_{-n}=-o_n obtemos
e_n - o_n = -e_n - o_n.
Somando o_n aos dois lados e então somando e_n aos dois lados, ou simplesmente reorganizando, fica
2\,e_n=0,
ou seja
e_n=0
para todo n\in\mathbb{Z}. Isso significa que e seria identicamente zero, contradizendo a hipótese de que e não é identicamente zero. Portanto a suposição de que s é ímpar é impossível. Conclusão parcial: s não é ímpar.

Passo 5

Juntando as conclusões dos passos anteriores: s=e+o não pode ser par (Passo 3) e também não pode ser ímpar (Passo 4). Assim provou-se que, sempre que e é par não identicamente zero e o é ímpar não identicamente zero, a soma s=e+o é nem par nem ímpar.

Resposta

A soma de uma sequência par e uma sequência ímpar, quando nenhuma das duas é identicamente zero, não é nem par nem ímpar.

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