Determine whether each system mathcal{H} given below is causal.
mathcal{H} x(t)=\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) u(\tau-t-3) d \tau.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear (operador) \mathcal{H} definido por
\mathcal{H}x(t)=\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\,u(\tau-t-3)\,d\tau.
A pergunta é: esse sistema é causal ou não?
Nota: aqui assumo que u(\cdot) é a função degrau de Heaviside, i.e., u(s)=0 para s<0 e u(s)=1 para s\ge 0.

Passo 2

O que é causalidade (explicação didática)?
Um sistema é causal quando, para qualquer instante t_0, o valor da saída no instante t_0 depende somente dos valores da entrada em instantes \tau tais que \tau\le t_0 (ou seja, do passado e do presente, nunca do futuro).
Uma forma prática e formal de testar isso é escrever a saída como
\mathcal{H}x(t)=\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\,K(t,\tau)\,d\tau,
onde K(t,\tau) é o núcleo (kernel) do sistema. O sistema é causal se, para todo t, K(t,\tau)=0 sempre que \tau>t. Em palavras: o núcleo não pode “pegar” valores de \tau maiores que t.

Passo 3

Identifiquemos o kernel do seu sistema. Comparando, temos
K(t,\tau)=u(\tau-t-3).
Como u(s)=0 para s<0 e u(s)=1 para s\ge 0, a condição u(\tau-t-3)=1 equivale a
\tau-t-3\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \tau\ge t+3.
Portanto K(t,\tau)=0 quando \tau<t+3 e K(t,\tau)=1 quando \tau\ge t+3. Em particular, para cada t o kernel é não nulo para valores de \tau que satisfazem \tau\ge t+3.

Passo 4

Interpretação: o valor de [\mathcal{H}x(t)) envolve integração sobre \tau a partir de \tau=t+3 até \infty. Ou seja, a saída no instante t depende de x(\tau) para \tau\ge t+3, que são instantes estritamente maiores que t (futuro). Isso já é suficiente para concluir que o sistema não é causal, pois a saída usa valores futuros da entrada.
Para ficar mais concreto, um contraexemplo simples: tome t_0=0 e escolha a entrada
x(\tau)=\begin{cases}1,& 3\le \tau\le 4,\\[4pt]0,&\text{caso contrário.}\end{cases}á
Então para t=0\] temos \[\mathcal{H}x(0)=\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\,u(\tau-0-3)\,d\tau =\int_{3}^{\infty} x(\tau)\,d\tau=\int_{3}^{4} 1\,d\tau=1\neq 0.\] Contudo \(x(\tau)=0 para todo \tau\le 0. Logo com uma entrada que é zero no passado e presente (até t=0), a saída no instante 0 é diferente de zero — violação direta da definição de causalidade.]

Passo 5

Conclusão final: o núcleo não é zero para \tau>t (na verdade é não nulo para \tau\ge t+3), a saída em t depende de valores futuros x(\tau) com \tau>t, e existe um contraexemplo explícito. Portanto o sistema não é causal.

Resposta

Não é causal.

Exercícios relacionados