Determine whether each system
given below is causal.
.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear (operador)
definido por
A pergunta é: esse sistema é causal ou não?
Nota: aqui assumo que é a função degrau de Heaviside, i.e.,
para
e
para
.
Nota: aqui assumo que
Passo 2
O que é causalidade (explicação didática)?
Um sistema é causal quando, para qualquer instante , o valor da saída no instante
depende somente dos valores da entrada em instantes
tais que
(ou seja, do passado e do presente, nunca do futuro).
Uma forma prática e formal de testar isso é escrever a saída como
Um sistema é causal quando, para qualquer instante
Uma forma prática e formal de testar isso é escrever a saída como
onde
é o núcleo (kernel) do sistema. O sistema é causal se, para todo
,
sempre que
. Em palavras: o núcleo não pode “pegar” valores de
maiores que
.
Passo 3
Identifiquemos o kernel do seu sistema. Comparando, temos
Como
para
e
para
, a condição
equivale a
Portanto
quando
e
quando
. Em particular, para cada
o kernel é não nulo para valores de
que satisfazem
.
Passo 4
Interpretação: o valor de [\mathcal{H}x(t)) envolve integração sobre
a partir de
até
. Ou seja, a saída no instante
depende de
para
, que são instantes estritamente maiores que
(futuro). Isso já é suficiente para concluir que o sistema não é causal, pois a saída usa valores futuros da entrada.
Para ficar mais concreto, um contraexemplo simples: tome
e escolha a entrada
Então para
para todo
. Logo com uma entrada que é zero no passado e presente (até
), a saída no instante
é diferente de zero — violação direta da definição de causalidade.]
Passo 5
Conclusão final: o núcleo não é zero para
(na verdade é não nulo para
), a saída em
depende de valores futuros
com
, e existe um contraexemplo explícito. Portanto o sistema não é causal.
Resposta
Não é causal.