Um arquiteto está projetando um gazebo cujo piso terá o formato de um pentágono regular. Para garantir a estabilidade da estrutura, ele precisa calcular a área total desse piso para comprar o revestimento cerâmico.
O projeto indica que cada lado do pentágono mede 4 metros. Para auxiliar no cálculo, o arquiteto utiliza o triângulo retângulo formado pelo centro do polígono e o ponto médio de um dos lados.
Considere:
  • Tan (36)=0,73
  • Área do pentágono =\left(p^{*} a\right) / 2
A área aproximada do piso desse gazebo, em metros quadrados, é de:
A) 11,0
B) 13,7
C) 27,4
D) 54,8
E) 109,6

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a área do piso (pentágono regular):
  • Cada lado do pentágono tem comprimento s=4 metros.
  • Foi usado o triângulo retângulo formado pelo centro do polígono até o ponto médio de um lado (isso define a apótema).
  • Foi fornecido \tan(36^\circ)=0,73.
  • Fórmula da área fornecida: \text{Área do pentágono}=\dfrac{p\cdot a}{2}Áá, onde p é o perímetro e a é a apótema.
O que se pede: a área aproximada do pentágono regular (em m ^2), para escolher a alternativa correta.

Passo 2

Calcular o perímetro p.
O pentágono regular tem 5 lados iguais, portanto
p = 5\cdot s = 5\cdot 4 = 20\\ \text{metros}.

Passo 3

Entender e montar o triângulo retângulo para achar a apótema a.
Explicação didática do que é a apótema e por que aparece um ângulo de 36^\circ:
  • A apótema a é a distância do centro do pentágono até o ponto médio de um dos lados; ela é o cateto adjacente no triângulo retângulo que se forma quando dividimos a figura em triângulos isósceles do centro a dois vértices consecutivos.
  • O ângulo central de cada triângulo isósceles é \dfrac{360^\circ}{5}=72^\circ. Ao dividir esse triângulo isósceles pela sua altura (a apótema), obtemos dois triângulos retângulos com ângulo agudo \dfrac{72^\circ}{2}=36^\circ.
  • No triângulo retângulo considerado, o cateto oposto ao ângulo de 36^\circ é metade do lado do pentágono, isto é \dfrac{s}{2}= \dfrac{4}{2}=2 metros, e o cateto adjacente é a apótema a.
Relação trigonométrica (definição de tangente): em um triângulo retângulo,
\tan(\theta)=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}.
Aplicando com \theta=36^\circ:
\tan(36^\circ)=\frac{2}{a}.
Usando o valor fornecido \tan(36^\circ)=0,73, temos
0,73=\frac{2}{a}.
Agora isolamos a:
a=\frac{2}{0,73}.

Passo 4

Calcular numericamente a apótema a e arredondar com cuidado (explicando a conta):
a=\frac{2}{0,73}\approx 2,7397\\ \text{metros}.
(Feito dividindo 2 por 0,73; resultado aproximado 2,739726\ldots.)

Passo 5

Calcular a área usando a fórmula \dfrac{p\cdot a}{2}. Substituindo p=20 e a\approx 2,7397:
\text{Área}=\frac{20\cdot 2,7397}{2}=10\cdot 2,7397\approx 27,397.Á
Arredondando para uma casa decimal (como nas alternativas), obtemos \approx 27,4\\ \text{m}^2.

Resposta

27,4 (alternativa C)

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