Um arquiteto está projetando um gazebo cujo piso terá o formato de um pentágono regular. Para garantir a estabilidade da estrutura, ele precisa calcular a área total desse piso para comprar o revestimento cerâmico.
O projeto indica que cada lado do pentágono mede 4 metros. Para auxiliar no cálculo, o arquiteto utiliza o triângulo retângulo formado pelo centro do polígono e o ponto médio de um dos lados.
Considere:
- Tan
- Área do pentágono
A área aproximada do piso desse gazebo, em metros quadrados, é de:
A) 11,0
B) 13,7
C) 27,4
D) 54,8
E) 109,6
A) 11,0
B) 13,7
C) 27,4
D) 54,8
E) 109,6
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede a área do piso (pentágono regular):
- Cada lado do pentágono tem comprimento
metros. - Foi usado o triângulo retângulo formado pelo centro do polígono até o ponto médio de um lado (isso define a apótema).
- Foi fornecido
. - Fórmula da área fornecida:
, onde é o perímetro e é a apótema.
O que se pede: a área aproximada do pentágono regular (em m
), para escolher a alternativa correta.
Passo 2
Calcular o perímetro
.
O pentágono regular tem lados iguais, portanto
O pentágono regular tem
Passo 3
Entender e montar o triângulo retângulo para achar a apótema
.
Explicação didática do que é a apótema e por que aparece um ângulo de :
Explicação didática do que é a apótema e por que aparece um ângulo de
- A apótema
é a distância do centro do pentágono até o ponto médio de um dos lados; ela é o cateto adjacente no triângulo retângulo que se forma quando dividimos a figura em triângulos isósceles do centro a dois vértices consecutivos. - O ângulo central de cada triângulo isósceles é
. Ao dividir esse triângulo isósceles pela sua altura (a apótema), obtemos dois triângulos retângulos com ângulo agudo . - No triângulo retângulo considerado, o cateto oposto ao ângulo de
é metade do lado do pentágono, isto é metros, e o cateto adjacente é a apótema .
Relação trigonométrica (definição de tangente): em um triângulo retângulo,
Aplicando com
:
Usando o valor fornecido
, temos
Agora isolamos
:
Passo 4
Calcular numericamente a apótema
e arredondar com cuidado (explicando a conta):
(Feito dividindo
por
; resultado aproximado
.)
Passo 5
Calcular a área usando a fórmula
. Substituindo
e
:
Arredondando para uma casa decimal (como nas alternativas), obtemos
.