Durante um projeto de design geométrico, um arquiteto utiliza uma estrutura poligonal convexa na forma de uma mandala. Ao analisar o desenho no computador, ele observa que o software indica 324 diagonais traçadas automaticamente.
Sabendo que a estrutura é um polígono convexo regular, determine quantos lados possui essa figura.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
- É uma figura poligonal convexa regular (ou seja, um polígono convexo com todos os lados e ângulos iguais).
- O software indica que foram traçadas
diagonais nessa figura.
O que o problema pede:
- Determinar quantos lados (ou vértices) tem esse polígono.
Passo 2
Entender o que é uma diagonal e como contá-las.
- Diagonal: segmento que liga dois vértices não adjacentes de um polígono.
- Seja
o número de lados (e também de vértices) do polígono. Vou explicar com calma como contar as diagonais em função de .
Contagem por vértice:
- De um vértice qualquer, é possível ligar esse vértice a todos os outros
vértices. Dessas ligações, duas são os lados (os dois vértices adjacentes) e não são diagonais. Portanto, de cada vértice saem diagonais. - Se somarmos para todos os
vértices, contamos cada diagonal duas vezes (uma vez a partir de cada extremidade). Então o total de diagonais é dado por:
Aqui:
-
é o número total de diagonais. -
é o número de lados/vértices do polígono.
Passo 3
Agora usamos a informação do enunciado, que diz que
. Substituindo na fórmula:
Multiplicando ambos os lados por
:
Expandindo:
Passo 4
Resolver a equação quadrática
. Vou tentar fatorar: procuramos dois números cujo produto seja
e cuja soma seja
. Esses números são
e
, pois
Logo a fatoração é
Isso dá as raízes
e
. Como
representa número de lados, deve ser positivo, portanto
Passo 5
Verificação rápida: calcular o número de diagonais para
:
que coincide com o dado do enunciado. Perfeito — a conta bate.