Durante um projeto de design geométrico, um arquiteto utiliza uma estrutura poligonal convexa na forma de uma mandala. Ao analisar o desenho no computador, ele observa que o software indica 324 diagonais traçadas automaticamente.
Sabendo que a estrutura é um polígono convexo regular, determine quantos lados possui essa figura.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • É uma figura poligonal convexa regular (ou seja, um polígono convexo com todos os lados e ângulos iguais).
  • O software indica que foram traçadas 324 diagonais nessa figura.
O que o problema pede:
  • Determinar quantos lados (ou vértices) tem esse polígono.

Passo 2

Entender o que é uma diagonal e como contá-las.
  • Diagonal: segmento que liga dois vértices não adjacentes de um polígono.
  • Seja n o número de lados (e também de vértices) do polígono. Vou explicar com calma como contar as diagonais em função de n.
Contagem por vértice:
  • De um vértice qualquer, é possível ligar esse vértice a todos os outros n-1 vértices. Dessas n-1 ligações, duas são os lados (os dois vértices adjacentes) e não são diagonais. Portanto, de cada vértice saem n-3 diagonais.
  • Se somarmos para todos os n vértices, contamos cada diagonal duas vezes (uma vez a partir de cada extremidade). Então o total de diagonais D é dado por:
D=\dfrac{n(n-3)}{2}.
Aqui:
  • D é o número total de diagonais.
  • n é o número de lados/vértices do polígono.

Passo 3

Agora usamos a informação do enunciado, que diz que D=324. Substituindo na fórmula:
\dfrac{n(n-3)}{2}=324.
Multiplicando ambos os lados por 2:
n(n-3)=648.
Expandindo:
n^{2}-3n-648=0.

Passo 4

Resolver a equação quadrática n^{2}-3n-648=0. Vou tentar fatorar: procuramos dois números cujo produto seja -648 e cuja soma seja -3. Esses números são -27 e 24, pois
(-27)\cdot 24=-648,\qquad (-27)+24=-3.
Logo a fatoração é
n^{2}-3n-648=(n-27)(n+24)=0.
Isso dá as raízes n=27 e n=-24. Como n representa número de lados, deve ser positivo, portanto
n=27.

Passo 5

Verificação rápida: calcular o número de diagonais para n=27:
D=\dfrac{27\cdot(27-3)}{2}=\dfrac{27\cdot 24}{2}=27\cdot 12=324,
que coincide com o dado do enunciado. Perfeito — a conta bate.

Resposta

\,27

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