Determine whether each system
given below is causal.
;
Passo 1
O enunciado pede para decidir se o sistema
abaixo é causal:
Informações dadas:
- A expressão do sistema é
. -
é a função degrau unitário (ou seja, para e para ).
Passo 2
Definição prática de causalidade que vamos usar (essa é a regra que cai na prova):
Aqui
é a saída produzida pela entrada
. Em palavras: o valor da saída no instante
só pode depender dos valores da entrada em instantes
(presente e passado), nunca de
(futuro).
Passo 3
Escrevendo explicitamente a saída do sistema para uma entrada
:
Explanação do que aparece aqui:
-
é a variável do tempo atual: é uma função conhecida de (não depende da entrada). -
é o degrau unitário, também uma função conhecida do tempo atual. - O produto
é um coeficiente que só depende do instante presente . - Portanto
depende apenas de (o valor da entrada no mesmo instante ) multiplicado por um fator que já é conhecido no instante .
Passo 4
Aplicando a definição formal para verificar causalidade. Seja
fixo e sejam
tais que
As saídas correspondentes em
são
Como
satisfaz
, temos
. Substituindo na expressão acima segue
Logo, sempre que duas entradas coincidem no passado e no presente até
, as saídas coincidem em
. Isso é exatamente a condição de causalidade.
Observação rápida de borda: se
então
e
, então também não há problema — continua sendo causal.
Passo 5
Interpretação intuitiva (útil para a prova): o sistema simplesmente escala o valor presente
por um fator conhecido que depende só do tempo atual (
). Nada na fórmula usa
com
. Portanto o sistema não depende do futuro da entrada, logo é causal. Para contraste, um sistema como
seria não causal porque exige o valor da entrada no futuro (
) para produzir
.
Resposta
O sistema é causal.