Determine whether each system mathcal{H} given below is causal.
mathcal{H} x(t)=t u(t) x(t);

Passo 1

O enunciado pede para decidir se o sistema \mathcal{H} abaixo é causal:
\mathcal{H}x(t)=t\,u(t)\,x(t).
Informações dadas:
  • A expressão do sistema é \mathcal{H}x(t)=t\,u(t)\,x(t).
  • u(t) é a função degrau unitário (ou seja, u(t)=1 para t\ge 0 e u(t)=0 para t<0).

Passo 2

Definição prática de causalidade que vamos usar (essa é a regra que cai na prova):
\text{o sistema é causal se, para todo }t_0,\\ \text{valendo que }x_1(\tau)=x_2(\tau)\\ \forall \tau\le t_0,\\ \text{então } y_1(t_0)=y_2(t_0).éã
Aqui y_i(t)=\mathcal{H}x_i(t) é a saída produzida pela entrada x_i(t). Em palavras: o valor da saída no instante t_0 só pode depender dos valores da entrada em instantes \tau\le t_0 (presente e passado), nunca de \tau>t_0 (futuro).

Passo 3

Escrevendo explicitamente a saída do sistema para uma entrada x(t):
y(t)=t\,u(t)\,x(t).
Explanação do que aparece aqui:
  • t é a variável do tempo atual: é uma função conhecida de t (não depende da entrada).
  • u(t) é o degrau unitário, também uma função conhecida do tempo atual.
  • O produto t\,u(t) é um coeficiente que só depende do instante presente t.
  • Portanto y(t) depende apenas de x(t) (o valor da entrada no mesmo instante t) multiplicado por um fator que já é conhecido no instante t.

Passo 4

Aplicando a definição formal para verificar causalidade. Seja t_0 fixo e sejam x_1,x_2 tais que
x_1(\tau)=x_2(\tau)\quad\forall \tau\le t_0.
As saídas correspondentes em t_0 são
y_1(t_0)=t_0\,u(t_0)\,x_1(t_0), \qquad y_2(t_0)=t_0\,u(t_0)\,x_2(t_0).
Como \tau=t_0 satisfaz \tau\le t_0, temos x_1(t_0)=x_2(t_0). Substituindo na expressão acima segue
y_1(t_0)=t_0\,u(t_0)\,x_1(t_0)=t_0\,u(t_0)\,x_2(t_0)=y_2(t_0).
Logo, sempre que duas entradas coincidem no passado e no presente até t_0, as saídas coincidem em t_0. Isso é exatamente a condição de causalidade.
Observação rápida de borda: se t_0<0 então u(t_0)=0 e y_1(t_0)=y_2(t_0)=0, então também não há problema — continua sendo causal.

Passo 5

Interpretação intuitiva (útil para a prova): o sistema simplesmente escala o valor presente x(t) por um fator conhecido que depende só do tempo atual ( t\,u(t)). Nada na fórmula usa x(\tau) com \tau>t. Portanto o sistema não depende do futuro da entrada, logo é causal. Para contraste, um sistema como y(t)=x(t+1) seria não causal porque exige o valor da entrada no futuro ( t+1) para produzir y(t).

Resposta

O sistema é causal.

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