Determine whether each system mathcal{H} given below is causal. mathcal{H} x(t)=x(a t), where a is a nonzero real constant;
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear (ou não, isso não importa por enquanto) definido por
\mathcal{H}x(t)=x(a t),
onde a é uma constante real não nula (a\neq0). A pergunta é: determinar se o sistema \mathcal{H} é causal ou não.
Informações relevantes fornecidas:
A fórmula do sistema: \mathcal{H}x(t)=x(a t).
A constante a é real e diferente de zero: a\in\mathbb{R}\setminus\{0\}.
Pede-se apenas verificar causalidade (sim/não, e quando).
Passo 2
Definição de causalidade (explicada devagar e com cuidado). Um sistema é causal se, para todo instante de tempo t_0, a saída naquele instante depende apenas dos valores de entrada em tempos menores ou iguais a t_0. Em linguagem matemática equivalente (forma usada em provas):
\text{o sistema é causal se, para quaisquer sinais }x_1,x_2\text{ e para todo }t_0,
\text{se }x_1(\tau)=x_2(\tau)\text{ para todo }\tau\le t_0,\text{ então }(\mathcal{H}x_1)(t_0)=(\mathcal{H}x_2)(t_0).
Isto é intuitivo: se duas entradas são idênticas até o tempo t_0, então as saídas no tempo t_0 também devem ser idênticas — o sistema não pode “espiar” valores futuros \tau>t_0.
Passo 3
Aplicando a definição ao nosso sistema. Para um sinal x a saída no instante t_0 é
(\mathcal{H}x)(t_0)=x(a t_0).
Portanto, para dois sinais x_1,x_2 que coincidem para todo \tau\le t_0, teremos
Para garantir causalidade precisamos ter sempre x_1(a t_0)=x_2(a t_0) sempre que x_1(\tau)=x_2(\tau) para todo \tau\le t_0.
Passo 4
Interpretação do que é necessário: a igualdade x_1(a t_0)=x_2(a t_0) é garantida por hipótese somente se o ponto a t_0 estiver entre os tempos já “conhecidos”, ou seja, se a t_0\le t_0. Então, para que o sistema seja causal para todo t_0 devemos ter
a t_0 \le t_0\quad\text{para todo }t_0\in\mathbb{R}.
Vamos analisar essa desigualdade para todos os t_0.
Passo 5
Resolver a condição a t_0 \le t_0 para todos os t_0. Reescrevendo,
(a-1)t_0 \le 0\quad\text{para todo }t_0.
Se a-1>0 (isto é, a>1), então escolhemos t_0>0 e o produto (a-1)t_0 seria positivo, violando a desigualdade. Se a-1<0 (isto é, a<1), então escolhemos t_0<0 e (a-1)t_0 seria positivo (porque produto de negativos é positivo), novamente violando a desigualdade. A única possibilidade que faz (a-1)t_0\le0 valer para todos os t_0 é
a-1=0\quad\Longrightarrow\quad a=1.
Portanto, a condição necessária e suficiente para que a t_0\le t_0 para todo t_0 é a=1.
Passo 6
Construção explícita de contraexemplo quando a\neq1\) (para ficar cristalino). Suponha \(a>1\). Escolha \(t_0>0\) (por exemplo \(t_0=1\)); então \(a t_0>t_0\). Defina
\[x_1(t)\equiv 0\\ \text{para todo }t,
logo as saídas em t_0 diferem — sistema não é causal. Para a<1 o raciocínio é análogo: escolha t_0<0 tal que a t_0>t_0 (isso ocorre sempre que a<1 e t_0<0); construa o mesmo tipo de x_1,x_2. Assim para qualquer a\neq1 existe um par de sinais que coincidem até t_0 mas têm saídas diferentes em t_0. Portanto não são causais.]
Passo 7
Verificação do caso a=1. Se a=1 então
\mathcal{H}x(t)=x(1\cdot t)=x(t),
ou seja, o sistema é o sistema identidade. Claramente neste caso a saída em t_0 depende apenas de x(t_0), que é um valor da entrada em tempo \le t_0, então o sistema é causal.
Resposta
O sistema é causal se, e somente se, a=1. Para qualquer a\neq1 o sistema não é causal.