Determine whether each system
given below is memoryless.
.
Passo 1
O enunciado apresenta o sistema linear (operador) definido por
A pergunta é: determinar se esse sistema é memória-less (memória nula), ou seja, se a saída em cada instante
depende apenas do valor da entrada naquele mesmo instante
.
Informações dadas:
(Nota:
é a função
indicada no enunciado; na prática, em problemas de sinais,
costuma ser a função degrau unitário, mas a conclusão ficará clara mesmo assumindo essa interpretação padrão.)
Passo 2
O que significa, formalmente, um sistema ser memória-less? Vou explicar devagarinho, como combinamos.
Definição prática: um sistema é memória-less se, para todo instante
, a saída
depende somente do valor da entrada em
, isto é, depende apenas de
e não de valores
com
.
Forma útil para provas: seja
o sistema.
é memória-less se e somente se, para quaisquer sinais
e
e qualquer instante
,
Isto é prático para construir contraexemplos: basta achar dois sinais que coincidem em
mas geram saídas diferentes em
— aí o sistema tem memória.
Outra visão (mais técnica): um sistema que pode ser escrito como
é memória-less somente se o núcleo
for nulo para todo
, isto é,
deve ser proporcional a
. Se
for diferente disso (por exemplo, não concentrar todo o “peso” em
), então a saída envolve valores de
em instantes diferentes de
.
Passo 3
Agora aplicamos isso ao nosso sistema. Identificamos o núcleo
Se
ou seja,
Substituindo na integral,
(Se
; note que
depende de
numa janela deslocada por
, não é um delta centrado em
.)
Observe o que isso significa:
é a integral dos valores de
para
a partir de
em diante. Logo a saída em
depende de
para
, isto é, de valores da entrada em instantes diferentes de
(na verdade, futuros em relação a
).
Passo 4
Construção explícita de contraexemplo (para deixar cristalino e à prova de provas): escolha um instante arbitrário
. Defina dois sinais
e
tais que sejam iguais em
mas diferentes em outros instantes:
- Tome
para todo . - Tome
(impulso unitário em ).
Então claramente
ou seja, os sinais coincidem em
. Agora calcule as saídas no instante
:
Para
:
Para
:
Como
apesar de
, o sistema não é memória-less. Bingo — é um contraexemplo direto.
Passo 5
Resumo didático e intuição: a presença de
faz com que a integral “olhe” para valores de
com
deslocados (especificamente
no caso do degrau). Um sistema memória-less só pode usar
naquele mesmo instante; aqui a saída em
depende de
em outros instantes, então o sistema tem memória.
Resposta
O sistema não é memória-less (tem memória).