Determine whether each system mathcal{H} given below is memoryless.
mathcal{H} x(t)=\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) u(\tau-t-2) d \tau.

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear (operador) definido por
\mathcal{H}x(t)=\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\,u(\tau-t-2)\,d\tau.
A pergunta é: determinar se esse sistema é memória-less (memória nula), ou seja, se a saída em cada instante t depende apenas do valor da entrada naquele mesmo instante t.
Informações dadas:
\mathcal{H}x(t)=\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\,u(\tau-t-2)\,d\tau.
(Nota: u(\cdot) é a função u indicada no enunciado; na prática, em problemas de sinais, u costuma ser a função degrau unitário, mas a conclusão ficará clara mesmo assumindo essa interpretação padrão.)

Passo 2

O que significa, formalmente, um sistema ser memória-less? Vou explicar devagarinho, como combinamos.
Definição prática: um sistema é memória-less se, para todo instante t_0, a saída y(t_0) depende somente do valor da entrada em t_0, isto é, depende apenas de x(t_0) e não de valores x(\tau) com \tau\neq t_0.
Forma útil para provas: seja \mathcal{H} o sistema. \mathcal{H} é memória-less se e somente se, para quaisquer sinais x_1 e x_2 e qualquer instante t_0,
\text{se } x_1(t_0)=x_2(t_0) \text{ então } \mathcal{H}x_1(t_0)=\mathcal{H}x_2(t_0).ã
Isto é prático para construir contraexemplos: basta achar dois sinais que coincidem em t_0 mas geram saídas diferentes em t_0 — aí o sistema tem memória.
Outra visão (mais técnica): um sistema que pode ser escrito como
\mathcal{H}x(t)=\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\,k(t,\tau)\,d\tau
é memória-less somente se o núcleo k(t,\tau) for nulo para todo \tau\neq t, isto é, k(t,\tau) deve ser proporcional a \delta(\tau-t). Se k(t,\tau) for diferente disso (por exemplo, não concentrar todo o “peso” em \tau=t), então a saída envolve valores de x em instantes diferentes de t.

Passo 3

Agora aplicamos isso ao nosso sistema. Identificamos o núcleo
k(t,\tau)=u(\tau-t-2).
Se u\) for o degrau unitário (função de Heaviside), então \[u(\tau-t-2)= \begin{cases} 1, & \tau-t-2 \ge 0 \\\\ 0, & \tau-t-2<0 \end{cases}
ou seja,
u(\tau-t-2)=1\quad\text{para }\tau\ge t+2,\qquad u(\tau-t-2)=0\quad\text{para }\tau<t+2.
Substituindo na integral,
\mathcal{H}x(t)=\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\,u(\tau-t-2)\,d\tau =\int_{t+2}^{\infty} x(\tau)\,d\tau.
(Se u\] for outra função, a forma geral é \(k(t,\tau)=u(\tau-t-2); note que k depende de \tau numa janela deslocada por t+2, não é um delta centrado em \tau=t.)
Observe o que isso significa: \mathcal{H}x(t) é a integral dos valores de x(\tau) para \tau a partir de t+2 em diante. Logo a saída em t depende de x(\tau) para \tau\ge t+2, isto é, de valores da entrada em instantes diferentes de t (na verdade, futuros em relação a t).

Passo 4

Construção explícita de contraexemplo (para deixar cristalino e à prova de provas): escolha um instante arbitrário t_0. Defina dois sinais x_1 e x_2 tais que sejam iguais em t_0 mas diferentes em outros instantes:
  • Tome x_1(\tau)=0 para todo \tau.
  • Tome x_2(\tau)=\delta(\tau-(t_0+2)) (impulso unitário em \tau=t_0+2).
Então claramente
x_1(t_0)=0,\qquad x_2(t_0)=0,
ou seja, os sinais coincidem em t_0. Agora calcule as saídas no instante t_0:
Para x_1:
\mathcal{H}x_1(t_0)=\int_{t_0+2}^{\infty} 0\,d\tau=0.
Para x_2:
\mathcal{H}x_2(t_0)=\int_{t_0+2}^{\infty} \delta(\tau-(t_0+2))\,d\tau=1.
Como \mathcal{H}x_1(t_0)\neq\mathcal{H}x_2(t_0) apesar de x_1(t_0)=x_2(t_0), o sistema não é memória-less. Bingo — é um contraexemplo direto.

Passo 5

Resumo didático e intuição: a presença de u(\tau-t-2) faz com que a integral “olhe” para valores de x(\tau) com \tau deslocados (especificamente \tau\ge t+2 no caso do degrau). Um sistema memória-less só pode usar x(t) naquele mesmo instante; aqui a saída em t depende de x em outros instantes, então o sistema tem memória.

Resposta

O sistema não é memória-less (tem memória).

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