Determine whether each system
given below is causal.
, where
is a strictly negative real constant;
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear com entrada
e saída
onde
é uma constante real estritamente negativa (
). A pergunta é: o sistema
é causal?
Passo 2
Definição precisa de causalidade (vai ajudar a testar o sistema). Um sistema é causal se, para qualquer instante
, duas entradas que coincidem para todos os instantes passados e presentes até
produzem saídas que também coincidem para todos os instantes até
. Em forma matemática:
onde
. Intuição: saída em
não pode depender de valores de entrada em instantes futuros
.
Passo 3
Escrevendo a saída em um instante arbitrário
para este sistema:
Como foi dado que
, temos
e portanto
Ou seja, a saída no instante
depende do valor de
em
, que é um instante estritamente maior que
(um “futuro” relativo a
).
Passo 4
Interpretação direta: para
o operador
é um avanço no tempo (avança a entrada em
unidades). Avançar significa que a saída em
precisa conhecer a entrada em um instante futuro
. Isso já viola a ideia de causalidade. Mas vamos formalizar com um contra-exemplo simples (e totalmente explícito) para ser rigoroso.
Passo 5
Contra-exemplo formal (mostra que a propriedade da definição falha). Seja um instante arbitrário
. Defina duas entradas
onde
é a função degrau unitário com
. Observações:
- Como
temos . Então para todo vale , logo . Assim
ou seja, as duas entradas coincidem para todos os instantes até
, como exige a hipótese da definição de causalidade.
- Agora as saídas no instante
são
Portanto
apesar de
para todo
. Isso viola exatamente a condição de causalidade.
Passo 6
Conclusão: o sistema não é causal porque a saída em um tempo
depende de valores da entrada em tempos maiores que
. (Comentário didático rápido: esse operador é chamado avanço no tempo. Por contraste, se
o operador seria um atraso
com
, e aí seria causal.)
Resposta
Não é causal.