Determine whether each system mathcal{H} given below is causal.
mathcal{H} x(t)=x(t-a), where a is a strictly negative real constant;

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com entrada x(t) e saída
\mathcal{H}x(t)=x(t-a),
onde a é uma constante real estritamente negativa ( a<0). A pergunta é: o sistema \mathcal{H} é causal?

Passo 2

Definição precisa de causalidade (vai ajudar a testar o sistema). Um sistema é causal se, para qualquer instante t_0, duas entradas que coincidem para todos os instantes passados e presentes até t_0 produzem saídas que também coincidem para todos os instantes até t_0. Em forma matemática:
\text{Se } x_1(\tau)=x_2(\tau)\\ \forall \tau\le t_0 \quad\Rightarrow\quad y_1(t)=y_2(t)\\ \forall t\le t_0,
onde y_i=\mathcal{H}x_i. Intuição: saída em t_0 não pode depender de valores de entrada em instantes futuros >t_0.

Passo 3

Escrevendo a saída em um instante arbitrário t_0 para este sistema:
y(t_0)=\mathcal{H}x(t_0)=x(t_0-a).
Como foi dado que a<0, temos -a>0 e portanto
t_0-a = t_0 + (-a) > t_0.
Ou seja, a saída no instante t_0 depende do valor de x em t_0-a, que é um instante estritamente maior que t_0 (um “futuro” relativo a t_0).

Passo 4

Interpretação direta: para a<0 o operador x(t)\mapsto x(t-a) é um avanço no tempo (avança a entrada em |a| unidades). Avançar significa que a saída em t_0 precisa conhecer a entrada em um instante futuro >t_0. Isso já viola a ideia de causalidade. Mas vamos formalizar com um contra-exemplo simples (e totalmente explícito) para ser rigoroso.

Passo 5

Contra-exemplo formal (mostra que a propriedade da definição falha). Seja um instante arbitrário t_0. Defina duas entradas
x_1(t)\equiv 0 \quad\text{e}\quad x_2(t)=u\bigl(t-(t_0-a)\bigr),
onde u(\cdot) é a função degrau unitário com u(0)=1. Observações:
  • Como a<0 temos t_0-a>t_0. Então para todo \tau\le t_0 vale \tau<t_0-a, logo x_2(\tau)=0. Assim
x_1(\tau)=x_2(\tau)=0 \quad\forall \tau\le t_0,
ou seja, as duas entradas coincidem para todos os instantes até t_0, como exige a hipótese da definição de causalidade.
  • Agora as saídas no instante t_0 são
y_1(t_0)=\mathcal{H}x_1(t_0)=x_1(t_0-a)=0,
y_2(t_0)=\mathcal{H}x_2(t_0)=x_2(t_0-a)=u(0)=1.
Portanto y_1(t_0)\neq y_2(t_0) apesar de x_1(\tau)=x_2(\tau) para todo \tau\le t_0. Isso viola exatamente a condição de causalidade.

Passo 6

Conclusão: o sistema não é causal porque a saída em um tempo t_0 depende de valores da entrada em tempos maiores que t_0. (Comentário didático rápido: esse operador é chamado avanço no tempo. Por contraste, se a>0 o operador seria um atraso x(t-a) com t-a\le t, e aí seria causal.)

Resposta

Não é causal.

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