Determine whether each system
given below is causal.
;
Passo 1
O enunciado dá o sistema
e pede para determinar se esse sistema é causal.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A expressão do sistema: para qualquer sinal de entrada
, a saída em tempo é . - A pergunta única: “o sistema é causal?” (responder sim ou não, com justificativa).
Passo 2
Definição clara do que significa “causal” (explicação passo a passo).
- Um sistema é causal se, para todo instante
, o valor da saída naquele instante depende apenas dos valores da entrada em instantes tais que (isto é, passado e presente), e nunca de valores da entrada em instantes (futuro). - Em termos formais: se dois sinais
e satisfazem para todo , então um sistema causal deve garantir para todo . - Intuição simples: na prova, ao avaliar a saída num instante, não pode “espiar” valores da entrada em instantes maiores do que aquele instante.
Passo 3
Aplicando a definição ao sistema dado.
- Pelo enunciado, a saída no instante
é
- Ou seja, para determinar a saída em
o sistema consulta o valor da entrada no instante . - Agora note um ponto crucial: se
então o valor corresponde a um instante da entrada que é no futuro relativo a . Se isso acontecer para algum , o sistema pode depender do futuro e, portanto, não será causal (pois a definição exige a propriedade para todo ).
Passo 4
Análise do sinal
em função de
.
- Para quais
vale ? Resolvendo obtemos , isto é . - Conclusão: para qualquer instante
o sistema retorna a entrada em um instante que é maior que (um instante “no futuro” com relação a ). - Portanto, se for possível construir dois sinais que coincidam para todos os
mas que difiram em (que é ), então a saída nesses sinais em será diferente — o que viola a causalidade.
Passo 5
Construção explícita de um contraexemplo (prova por contradição direta).
- Escolha um instante concreto
, por exemplo . - Defina dois sinais
e assim: -
para todo . -
para todo , e (em todos os outros instantes diferentes de e dos pode ficar 0; basta que exista essa diferença em ).
-
- Observações importantes: essas escolhas são sinais perfeitamente válidos (sinal zero salvo um ponto isolado) e satisfazem a hipótese da definição de causalidade:
- Para todo
(isto é, para todo ), tem-se . Ou seja, e coincidem em todo passado e presente até .
- Para todo
Passo 6
Avaliação das saídas em
para os dois sinais e conclusão.
- Calcule
com :
- Calcule
:
- Resultado: apesar de
para todo , obteve-se . Isso viola a condição necessária para causalidade. - Portanto o sistema não é causal.
Passo 7
Intuição final e comentário amigável.
- O operador
faz uma “inversão do tempo” ( ). Essa inversão transforma passado em futuro e vice-versa, por isso para instantes negativos ele força a saída a depender de valores da entrada que ainda não ocorreram — exatamente o que um sistema causal não pode fazer. - Conclusão prática: na prova, ao ver algo como
, já deve soar o alarme “possível não-causalidade”; para confirmar, pode usar o mesmo tipo de contraexemplo que mostrei (escolher e dois sinais iguais no passado mas diferentes em ).
Resposta
Não — o sistema
não é causal.