Determine whether each system mathcal{H} given below is causal.
mathcal{H} x(t)=x(-t);

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\mathcal{H}x(t)=x(-t)
e pede para determinar se esse sistema é causal.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A expressão do sistema: para qualquer sinal de entrada x, a saída em tempo t é x(-t).
  • A pergunta única: “o sistema é causal?” (responder sim ou não, com justificativa).

Passo 2

Definição clara do que significa “causal” (explicação passo a passo).
  • Um sistema é causal se, para todo instante t_0, o valor da saída naquele instante depende apenas dos valores da entrada em instantes \tau tais que \tau\le t_0 (isto é, passado e presente), e nunca de valores da entrada em instantes \tau>t_0 (futuro).
  • Em termos formais: se dois sinais x_1 e x_2 satisfazem x_1(\tau)=x_2(\tau) para todo \tau\le t_0, então um sistema causal deve garantir \mathcal{H}x_1(t_0)=\mathcal{H}x_2(t_0) para todo t_0.
  • Intuição simples: na prova, ao avaliar a saída num instante, não pode “espiar” valores da entrada em instantes maiores do que aquele instante.

Passo 3

Aplicando a definição ao sistema dado.
  • Pelo enunciado, a saída no instante t_0 é
\mathcal{H}x(t_0)=x(-t_0).
  • Ou seja, para determinar a saída em t_0 o sistema consulta o valor da entrada no instante -t_0.
  • Agora note um ponto crucial: se -t_0>t_0 então o valor x(-t_0) corresponde a um instante da entrada que é no futuro relativo a t_0. Se isso acontecer para algum t_0, o sistema pode depender do futuro e, portanto, não será causal (pois a definição exige a propriedade para todo t_0).

Passo 4

Análise do sinal -t_0 em função de t_0.
  • Para quais t_0 vale -t_0>t_0? Resolvendo -t_0>t_0 obtemos 0>2t_0, isto é t_0<0.
  • Conclusão: para qualquer instante t_0<0 o sistema retorna a entrada em um instante -t_0 que é maior que t_0 (um instante “no futuro” com relação a t_0).
  • Portanto, se for possível construir dois sinais que coincidam para todos os \tau\le t_0 mas que difiram em \tau=-t_0 (que é >t_0), então a saída nesses sinais em t_0 será diferente — o que viola a causalidade.

Passo 5

Construção explícita de um contraexemplo (prova por contradição direta).
  • Escolha um instante concreto t_0<0, por exemplo t_0=-1.
  • Defina dois sinais x_1 e x_2 assim:
    • x_1(t)=0 para todo t.
    • x_2(t)=0 para todo t\le -1, e x_2(1)=1 (em todos os outros instantes diferentes de 1 e dos \le-1 pode ficar 0; basta que exista essa diferença em t=1).
  • Observações importantes: essas escolhas são sinais perfeitamente válidos (sinal zero salvo um ponto isolado) e satisfazem a hipótese da definição de causalidade:
    • Para todo \tau\le t_0 (isto é, para todo \tau\le -1), tem-se x_1(\tau)=0=x_2(\tau). Ou seja, x_1 e x_2 coincidem em todo passado e presente até t_0.

Passo 6

Avaliação das saídas em t_0 para os dois sinais e conclusão.
  • Calcule \mathcal{H}x_1(t_0) com t_0=-1:
\mathcal{H}x_1(-1)=x_1(1)=0.
  • Calcule \mathcal{H}x_2(t_0):
\mathcal{H}x_2(-1)=x_2(1)=1.
  • Resultado: apesar de x_1(\tau)=x_2(\tau) para todo \tau\le -1, obteve-se \mathcal{H}x_1(-1)\neq\mathcal{H}x_2(-1). Isso viola a condição necessária para causalidade.
  • Portanto o sistema não é causal.

Passo 7

Intuição final e comentário amigável.
  • O operador \mathcal{H} faz uma “inversão do tempo” ( t\mapsto -t). Essa inversão transforma passado em futuro e vice-versa, por isso para instantes negativos ele força a saída a depender de valores da entrada que ainda não ocorreram — exatamente o que um sistema causal não pode fazer.
  • Conclusão prática: na prova, ao ver algo como x(-t), já deve soar o alarme “possível não-causalidade”; para confirmar, pode usar o mesmo tipo de contraexemplo que mostrei (escolher t_0<0 e dois sinais iguais no passado mas diferentes em -t_0).

Resposta

Não — o sistema \mathcal{H}x(t)=x(-t) não é causal.

Exercícios relacionados