Determine whether each system mathcal{H} given below is causal. mathcal{H} x(t)=[x(t+1)]^{-1};
Passo 1
O enunciado pede para decidir se o sistema \mathcal{H} abaixo é causal:
\mathcal{H}x(t) = [x(t+1)]^{-1}.
Informações dadas:
A lei do sistema é \mathcal{H}x(t) = [x(t+1)]^{-1}.
A notação [x(t+1)]^{-1} significa o recíproco de x(t+1), isto é \dfrac{1}{x(t+1)} (quando definido).
O objetivo é afirmar se o sistema satisfaz ou não a propriedade de causalidade.
Passo 2
Definição de causalidade (explicada de forma direta): um sistema é causal se, sempre que dois sinais de entrada x_1 e x_2 coincidem para todos os instantes anteriores e iguais a algum tempo t_0 (isto é, x_1(\tau)=x_2(\tau) para todo \tau\le t_0), então as saídas também coincidem para todos os instantes até t_0 (isto é, (\mathcal{H}x_1)(t)=(\mathcal{H}x_2)(t) para todo t\le t_0).
Intuição prática: a saída no instante t só pode depender de valores de entrada em instantes \tau\le t (passado ou presente); depender de \tau>t (futuro) quebra causalidade.
Passo 3
Observação direta sobre a lei do sistema: a saída no instante t é dada por \mathcal{H}x(t)=\dfrac{1}{x(t+1)}. Isso envolve o valor de entrada no instante t+1, que é estritamente posterior a t. Pelo conceito de causalidade, o uso de x(t+1) (um valor futuro em relação a t) já sugere que o sistema não é causal. Vou tornar isso rigoroso construindo um contraexemplo com duas entradas que coincidem no passado mas produzem saídas diferentes num mesmo instante.
Passo 4
Construção do contraexemplo (passo a passo e bem concreto):
Escolho t_0=0\) para facilitar a escrita.
- Defino os sinais \(x_1\) e \(x_2\) assim (todos os símbolos em TeX):
\[x_1(t)=1\quad\text{para todo }t,
Como (\mathcal{H}x_1)(0)\neq(\mathcal{H}x_2)(0), temos um caso em que duas entradas que coincidem para \tau\le0 produzem saídas diferentes em t=0. Isso viola a condição necessária para causalidade.
Observação técnica: escolhi valores não nulos de entrada em t=1 para garantir que os recíprocos existam. Se x(t+1)=0 a saída estaria indefinida, mas isso é outra questão (domínio do sistema); a violação de causalidade fica evidente já com recíprocos bem definidos.]
Passo 5
Interpretação prática e dica para prova: qualquer sistema cuja expressão para \mathcal{H}x(t) dependa explicitamente de x(t+positive shift) (por exemplo x(t+1),x(t+0,5) etc.) usa valores futuros e, salvo hipóteses muito estranhas sobre o conjunto de sinais admissíveis, é não causal. Em contraste, expressões que usam x(t) ou x(t-\text{algo}) são potencialmente causais.