Determine whether each system mathcal{H} given below is causal.
mathcal{H} x(t)=[x(t+1)]^{-1};

Passo 1

O enunciado pede para decidir se o sistema \mathcal{H} abaixo é causal:
\mathcal{H}x(t) = [x(t+1)]^{-1}.
Informações dadas:
  • A lei do sistema é \mathcal{H}x(t) = [x(t+1)]^{-1}.
  • A notação [x(t+1)]^{-1} significa o recíproco de x(t+1), isto é \dfrac{1}{x(t+1)} (quando definido).
    O objetivo é afirmar se o sistema satisfaz ou não a propriedade de causalidade.

Passo 2

Definição de causalidade (explicada de forma direta): um sistema é causal se, sempre que dois sinais de entrada x_1 e x_2 coincidem para todos os instantes anteriores e iguais a algum tempo t_0 (isto é, x_1(\tau)=x_2(\tau) para todo \tau\le t_0), então as saídas também coincidem para todos os instantes até t_0 (isto é, (\mathcal{H}x_1)(t)=(\mathcal{H}x_2)(t) para todo t\le t_0).
Intuição prática: a saída no instante t só pode depender de valores de entrada em instantes \tau\le t (passado ou presente); depender de \tau>t (futuro) quebra causalidade.

Passo 3

Observação direta sobre a lei do sistema: a saída no instante t é dada por \mathcal{H}x(t)=\dfrac{1}{x(t+1)}. Isso envolve o valor de entrada no instante t+1, que é estritamente posterior a t. Pelo conceito de causalidade, o uso de x(t+1) (um valor futuro em relação a t) já sugere que o sistema não é causal. Vou tornar isso rigoroso construindo um contraexemplo com duas entradas que coincidem no passado mas produzem saídas diferentes num mesmo instante.

Passo 4

Construção do contraexemplo (passo a passo e bem concreto):
  • Escolho t_0=0\) para facilitar a escrita. - Defino os sinais \(x_1\) e \(x_2\) assim (todos os símbolos em TeX): \[x_1(t)=1\quad\text{para todo }t,
x_2(t)=\begin{cases} 1, & t\le 0,\\[4pt] 2, & t=1,\\[4pt] 1, & t\ge 2. \end{cases}
  • Verificação da hipótese da definição: x_1(\tau)=x_2(\tau)=1\] para todo \(\tau\le 0. Logo, x_1 e x_2 coincidem no passado até t_0=0.
  • Agora calculo as saídas no instante t=0:
(\mathcal{H}x_1)(0)=\dfrac{1}{x_1(1)}=\dfrac{1}{1}=1,
(\mathcal{H}x_2)(0)=\dfrac{1}{x_2(1)}=\dfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}.
  • Como (\mathcal{H}x_1)(0)\neq(\mathcal{H}x_2)(0), temos um caso em que duas entradas que coincidem para \tau\le0 produzem saídas diferentes em t=0. Isso viola a condição necessária para causalidade.
Observação técnica: escolhi valores não nulos de entrada em t=1 para garantir que os recíprocos existam. Se x(t+1)=0 a saída estaria indefinida, mas isso é outra questão (domínio do sistema); a violação de causalidade fica evidente já com recíprocos bem definidos.]

Passo 5

Interpretação prática e dica para prova: qualquer sistema cuja expressão para \mathcal{H}x(t) dependa explicitamente de x(t+positive shift ) (por exemplo x(t+1),x(t+0,5) etc.) usa valores futuros e, salvo hipóteses muito estranhas sobre o conjunto de sinais admissíveis, é não causal. Em contraste, expressões que usam x(t) ou x(t-\text{algo}) são potencialmente causais.

Resposta

Não é causal.

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