Determine whether each system
given below is causal.
;
Passo 1
Enunciado e o que foi dado:
- O sistema linear está definido por
- Aqui
é a variável de tempo de saída e é a variável de integração (tempo de entrada). - Admitir que
é a função degrau unitário (Heaviside): para e para . - Pergunta do enunciado: determinar se o sistema
é causal (ou seja, se para cada instante a saída em depende apenas dos valores de entrada para tempos ).
Passo 2
Definição de causalidade (explicação didática):
- Um sistema é causal quando a saída em um tempo
não depende de valores futuros da entrada, isto é, não depende de com . - Forma prática e equivalente (teste): se
para todo , então as saídas correspondentes satisfazem . - Intuição: o sistema só pode usar “passado” e “presente” de
, nunca “futuro”.
Passo 3
Analisar a função degrau no integrando e identificar onde a integrandora é não nula:
- Para um
fixo, a função vale quando
e vale
quando
.
- Portanto a integral sobre
reduz-se apenas à parte onde o degrau é 1. Ou seja,
- Observação: escrevemos explicitamente a mudança do domínio de integração usando a propriedade de suporte do degrau.
Passo 4
Concluir se depende de valores futuros ou não (aplicando a definição):
- A expressão obtida mostra que, para cada
,
ou seja, a saída em
depende apenas de
com
.
- Como
, a saída em depende somente de instantes do passado (estritamente anteriores a ), e não de nenhum . - Usando o teste com duas entradas: se
para todo , então em particular são iguais em , logo
o que confirma a causalidade segundo a definição formal.
Passo 5
Interpretação física e exemplo rápido (para fixar a ideia):
- O sistema é um integrador que soma os valores passados da entrada até
: isso equivale a um integrador com atraso (delay) de unidade de tempo. Esse atraso garante que nem mesmo o valor presente é usado — só o passado até . - Exemplo simples: se
(impulso em ), então
ou seja, a resposta é um degrau que aparece em
, reafirmando a ideia de atraso e ausência de uso de valores futuros.
Resposta
O sistema é causal.