Determine whether each system mathcal{H} given below is causal.
mathcal{H} x(t)=\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) u(t-\tau-1) d \tau;

Passo 1

Enunciado e o que foi dado:
  • O sistema linear está definido por
\mathcal{H}x(t)=\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\,u(t-\tau-1)\,d\tau.
  • Aqui t é a variável de tempo de saída e \tau é a variável de integração (tempo de entrada).
  • Admitir que u(\cdot) é a função degrau unitário (Heaviside): u(s)=1 para s\ge 0 e u(s)=0 para s<0.
  • Pergunta do enunciado: determinar se o sistema \mathcal{H} é causal (ou seja, se para cada instante t_0 a saída em t_0 depende apenas dos valores de entrada para tempos \tau\le t_0).

Passo 2

Definição de causalidade (explicação didática):
  • Um sistema é causal quando a saída em um tempo t_0 não depende de valores futuros da entrada, isto é, não depende de x(\tau) com \tau>t_0.
  • Forma prática e equivalente (teste): se x_1(\tau)=x_2(\tau) para todo \tau\le t_0, então as saídas correspondentes satisfazem \mathcal{H}x_1(t_0)=\mathcal{H}x_2(t_0).
  • Intuição: o sistema só pode usar “passado” e “presente” de x, nunca “futuro”.

Passo 3

Analisar a função degrau no integrando e identificar onde a integrandora é não nula:
  • Para um t fixo, a função u(t-\tau-1) vale 1 quando
t-\tau-1 \ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \tau \le t-1,
e vale 0 quando \tau>t-1.
  • Portanto a integral sobre (-\infty,\infty) reduz-se apenas à parte onde o degrau é 1. Ou seja,
\mathcal{H}x(t)=\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\,u(t-\tau-1)\,d\tau = \int_{-\infty}^{t-1} x(\tau)\,d\tau.
  • Observação: escrevemos explicitamente a mudança do domínio de integração usando a propriedade de suporte do degrau.

Passo 4

Concluir se depende de valores futuros ou não (aplicando a definição):
  • A expressão obtida mostra que, para cada t,
\mathcal{H}x(t)=\int_{-\infty}^{t-1} x(\tau)\,d\tau,
ou seja, a saída em t depende apenas de x(\tau) com \tau\le t-1.
  • Como \{\tau\le t-1\}\subseteq\{\tau\le t\}, a saída em t depende somente de instantes do passado (estritamente anteriores a t), e não de nenhum \tau>t.
  • Usando o teste com duas entradas: se x_1(\tau)=x_2(\tau) para todo \tau\le t_0, então em particular são iguais em (-\infty,t_0-1], logo
\mathcal{H}x_1(t_0)-\mathcal{H}x_2(t_0) = \int_{-\infty}^{t_0-1} \bigl(x_1(\tau)-x_2(\tau)\bigr)\,d\tau = 0,
o que confirma a causalidade segundo a definição formal.

Passo 5

Interpretação física e exemplo rápido (para fixar a ideia):
  • O sistema é um integrador que soma os valores passados da entrada até t-1: isso equivale a um integrador com atraso (delay) de 1 unidade de tempo. Esse atraso garante que nem mesmo o valor presente x(t) é usado — só o passado até t-1.
  • Exemplo simples: se x(t)=\delta(t) (impulso em 0), então
\mathcal{H}x(t)=\int_{-\infty}^{t-1}\delta(\tau)\,d\tau = u(t-1),
ou seja, a resposta é um degrau que aparece em t=1, reafirmando a ideia de atraso e ausência de uso de valores futuros.

Resposta

O sistema é causal.

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