Calcule a derivada, incicando a regra de derivaçïa inicialmente empregada-
\frac{d}{d x}\left(\left(x^{4}-x\right)^{-2}\left(5-x^{2}\right)^{-1}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
\left(x^{4}-x\right)^{-2}\left(5-x^{2}\right)^{-1}.
Ou seja, é preciso calcular
\frac{d}{dx}\!\left(\left(x^{4}-x\right)^{-2}\left(5-x^{2}\right)^{-1}\right).
Informações dadas importantes:
  • A função é produto de duas funções: uma é \left(x^{4}-x\right)^{-2} e a outra é \left(5-x^{2}\right)^{-1}.
  • O enunciado pede que eu indique a regra de derivação inicialmente empregada.

Passo 2

Regra inicialmente empregada: regra do produto.
Explicação da regra do produto (fórmula e significado): se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis, então
\frac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Aqui vou identificar
u(x)=\left(x^{4}-x\right)^{-2},\qquad v(x)=\left(5-x^{2}\right)^{-1}.
Para derivar u e v vou usar a regra da cadeia combinada com a regra da potência: se w(x)=\big(h(x)\big)^{n} então
w'(x)=n\big(h(x)\big)^{n-1}\,h'(x).
Nessa fórmula h(x) é a função interna e n é o expoente; calcula-se primeiro a derivada do expoente (potência) e multiplica-se pela derivada da função interna h'(x).

Passo 3

Derivada de u(x)=\left(x^{4}-x\right)^{-2}.
Coloca-se h(x)=x^{4}-x e n=-2. Pela regra da potência + cadeia:
u'(x) = -2\big(x^{4}-x\big)^{-3}\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{4}-x\big).
Agora calcula-se \frac{d}{dx}\big(x^{4}-x\big)=4x^{3}-1. Portanto
u'(x) = -2\big(x^{4}-x\big)^{-3}\,(4x^{3}-1).
Interpretação: o fator -2 vem do expoente, \big(x^{4}-x\big)^{-3} é a potência reduzida em uma unidade, e (4x^{3}-1) é a derivada da parte interna.

Passo 4

Derivada de v(x)=\left(5-x^{2}\right)^{-1}.
Coloca-se g(x)=5-x^{2} e m=-1. Aplicando potência + cadeia:
v'(x) = -1\big(5-x^{2}\big)^{-2}\cdot\frac{d}{dx}\big(5-x^{2}\big).
Calcula-se \frac{d}{dx}\big(5-x^{2}\big)=-2x. Assim
v'(x) = -1\big(5-x^{2}\big)^{-2}\,(-2x)=2x\big(5-x^{2}\big)^{-2}.
Observação: os sinais se cancelam porque a derivada da interna é negativa.

Passo 5

Aplicando a regra do produto:
\frac{d}{dx}\!\left(\left(x^{4}-x\right)^{-2}\left(5-x^{2}\right)^{-1}\right) = u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo u,u',v,v' obtém-se
-2\big(x^{4}-x\big)^{-3}(4x^{3}-1)\big(5-x^{2}\big)^{-1} + \big(x^{4}-x\big)^{-2}\cdot 2x\big(5-x^{2}\big)^{-2}.

Passo 6

Vamos simplificar fatorando os menores expoentes comuns. O menor expoente em \big(x^{4}-x\big) é -3 e em \big(5-x^{2}\big) é -2. Logo fatoramos
\big(x^{4}-x\big)^{-3}\big(5-x^{2}\big)^{-2}
fora. Ficamos com
\big(x^{4}-x\big)^{-3}\big(5-x^{2}\big)^{-2}\Big[ -2(4x^{3}-1)\big(5-x^{2}\big) +2x\big(x^{4}-x\big) \Big].
Agora desenvolve-se o colchete passo a passo.
Primeiro termo do colchete:
-2(4x^{3}-1)(5-x^{2})=-2\big(20x^{3}-4x^{5}-5+ x^{2}\big)
Mas vou expandir com cuidado: calcular (4x^{3}-1)(5-x^{2}) = 4x^{3}\cdot5 -4x^{3}\cdot x^{2} -1\cdot5 +1\cdot x^{2} = 20x^{3}-4x^{5}-5 + x^{2}. Multiplicando por -2 resulta
-2(4x^{3}-1)(5-x^{2}) = -40x^{3} +8x^{5} +10 -2x^{2}.
Segundo termo do colchete:
2x(x^{4}-x)=2x^{5}-2x^{2}.
Somando os dois termos:
-40x^{3} +8x^{5} +10 -2x^{2} + 2x^{5}-2x^{2} =10x^{5} -40x^{3} -4x^{2} +10.
Podemos fatorar 2 do numerador:
10x^{5} -40x^{3} -4x^{2} +10 = 2\big(5x^{5}-20x^{3}-2x^{2}+5\big).

Passo 7

Substituindo de volta e passando para forma com denominadores positivos (tirando os expoentes negativos), a derivada final fica
\frac{2\big(5x^{5}-20x^{3}-2x^{2}+5\big)}{\big(x^{4}-x\big)^{3}\big(5-x^{2}\big)^{2}}.

Resposta

\frac{2\big(5x^{5}-20x^{3}-2x^{2}+5\big)}{\big(x^{4}-x\big)^{3}\big(5-x^{2}\big)^{2}}

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