Calcule a derivada, incicando a regra de derivaçïa inicialmente empregada-
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
Ou seja, é preciso calcular
Informações dadas importantes:
- A função é produto de duas funções: uma é
e a outra é . - O enunciado pede que eu indique a regra de derivação inicialmente empregada.
Passo 2
Regra inicialmente empregada: regra do produto.
Explicação da regra do produto (fórmula e significado): se e
são funções diferenciáveis, então
Explicação da regra do produto (fórmula e significado): se
Aqui vou identificar
Para derivar
e
vou usar a regra da cadeia combinada com a regra da potência: se
então
Nessa fórmula
é a função interna e
é o expoente; calcula-se primeiro a derivada do expoente (potência) e multiplica-se pela derivada da função interna
.
Passo 3
Derivada de
.
Coloca-se e
. Pela regra da potência + cadeia:
Coloca-se
Agora calcula-se
. Portanto
Interpretação: o fator
vem do expoente,
é a potência reduzida em uma unidade, e
é a derivada da parte interna.
Passo 4
Derivada de
.
Coloca-se e
. Aplicando potência + cadeia:
Coloca-se
Calcula-se
. Assim
Observação: os sinais se cancelam porque a derivada da interna é negativa.
Passo 5
Aplicando a regra do produto:
Substituindo
obtém-se
Passo 6
Vamos simplificar fatorando os menores expoentes comuns. O menor expoente em
é
e em
é
. Logo fatoramos
fora. Ficamos com
Agora desenvolve-se o colchete passo a passo.
Primeiro termo do colchete:
Mas vou expandir com cuidado: calcular
Multiplicando por
resulta
Segundo termo do colchete:
Somando os dois termos:
Podemos fatorar
do numerador:
Passo 7
Substituindo de volta e passando para forma com denominadores positivos (tirando os expoentes negativos), a derivada final fica