Determine whether each system
given below is memoryless.
;
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear (não foi dito se linear, mas dá a lei de transformação)
definido por
A pergunta é: determinar se esse sistema é memoryless (sem memória).
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A regra de entrada-saída em tempo
usa o valor . - Não há restrição explícita no enunciado sobre valores nulos de
; portanto devemos evitar pontos onde porque aí fica indefinido.
Passo 2
Vamos lembrar a definição de memoryless (sistema sem memória) de forma precisa:
Um sistema é memoryless se, para cada instante fixo , o valor da saída no instante
depende apenas do valor da entrada naquele mesmo instante
. Em notação:
Um sistema é memoryless se, para cada instante fixo
para quaisquer sinais
do domínio (sempre que as saídas estejam definidas). Em palavras: se dois sinais coincidem em
, um sistema sem memória deve dar a mesma saída em
para ambos.
Passo 3
Estratégia de resolução (método prático que funciona na prova): construir um contraexemplo. Ou seja, escolher dois sinais
e
tais que
-
para algum ; - mas
(para que as saídas possam diferir); - e garantir
e para evitar indefinição.
Se conseguirmos isso e mostrar, então o sistema não é memoryless.
Passo 4
Construção explícita do contraexemplo. Escolha um instante arbitrário
. Defina dois sinais
e
quaisquer que satisfaçam:
onde
é qualquer número diferente de zero (o valor em
pode ser qualquer coisa, desde que igual para os dois sinais). Agora escolha
e complete
arbitrariamente nos demais instantes (não importa). Note que escolhemos
e
para evitar zero e garantir valores diferentes em
.
Passo 5
Calcule as saídas no instante
para cada sinal, usando a definição do sistema:
Portanto
, apesar de termos
. Isso viola a condição necessária para o sistema ser memoryless.
Passo 6
Conclusão e observações pedagógicas:
- Como a saída em
depende de em (um instante diferente de ), o sistema armazena/usa informação de outros instantes (neste caso do futuro), logo NÃO é memoryless. - Dica para a prova: para mostrar que um sistema não é sem memória sempre dá para fazer exatamente esse tipo de contraexemplo simples — igualar os sinais em
e fazer diferença em outro instante que o sistema usa. - Observação adicional (importante): se o domínio fosse restrito artificialmente a sinais que têm sempre o mesmo valor em
e (caso muito não usual), a conclusão poderia mudar; mas com o domínio padrão de sinais variados, o raciocínio acima é suficiente.
Resposta
Não, o sistema não é memoryless.