Determine whether each system mathcal{H} given below is memoryless.
mathcal{H} x(t)=[x(t+1)]^{-1};

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear (não foi dito se linear, mas dá a lei de transformação) \mathcal{H} definido por
\mathcal{H}x(t) = \bigl[x(t+1)\bigr]^{-1}.
A pergunta é: determinar se esse sistema é memoryless (sem memória).
Informações relevantes fornecidas:
  • A regra de entrada-saída em tempo t usa o valor x(t+1).
  • Não há restrição explícita no enunciado sobre valores nulos de x; portanto devemos evitar pontos onde x(t+1)=0 porque aí \mathcal{H}x(t) fica indefinido.

Passo 2

Vamos lembrar a definição de memoryless (sistema sem memória) de forma precisa:
Um sistema é memoryless se, para cada instante fixo t_0, o valor da saída no instante t_0 depende apenas do valor da entrada naquele mesmo instante t_0. Em notação:
\text{o sistema é memoryless} \quad\Longleftrightarrow\quad \text{se }x_1(t_0)=x_2(t_0)\text{ então }\mathcal{H}x_1(t_0)=\mathcal{H}x_2(t_0)éã
para quaisquer sinais x_1,x_2 do domínio (sempre que as saídas estejam definidas). Em palavras: se dois sinais coincidem em t_0, um sistema sem memória deve dar a mesma saída em t_0 para ambos.

Passo 3

Estratégia de resolução (método prático que funciona na prova): construir um contraexemplo. Ou seja, escolher dois sinais x_1 e x_2 tais que
  • x_1(t_0)=x_2(t_0) para algum t_0;
  • mas x_1(t_0+1)\neq x_2(t_0+1) (para que as saídas possam diferir);
  • e garantir x_1(t_0+1)\neq0 e x_2(t_0+1)\neq0 para evitar indefinição.
    Se conseguirmos isso e mostrar \mathcal{H}x_1(t_0)\neq\mathcal{H}x_2(t_0), então o sistema não é memoryless.

Passo 4

Construção explícita do contraexemplo. Escolha um instante arbitrário t_0. Defina dois sinais x_1 e x_2 quaisquer que satisfaçam:
x_1(t_0)=x_2(t_0)=c,
onde c é qualquer número diferente de zero (o valor em t_0 pode ser qualquer coisa, desde que igual para os dois sinais). Agora escolha
x_1(t_0+1)=1,\qquad x_2(t_0+1)=2,
e complete x_1,x_2 arbitrariamente nos demais instantes (não importa). Note que escolhemos 1 e 2 para evitar zero e garantir valores diferentes em t_0+1.

Passo 5

Calcule as saídas no instante t_0 para cada sinal, usando a definição do sistema:
\mathcal{H}x_1(t_0)=\bigl[x_1(t_0+1)\bigr]^{-1}=\frac{1}{1}=1,
\mathcal{H}x_2(t_0)=\bigl[x_2(t_0+1)\bigr]^{-1}=\frac{1}{2}.
Portanto \mathcal{H}x_1(t_0)\neq\mathcal{H}x_2(t_0), apesar de termos x_1(t_0)=x_2(t_0). Isso viola a condição necessária para o sistema ser memoryless.

Passo 6

Conclusão e observações pedagógicas:
  • Como a saída em t_0 depende de x em t_0+1 (um instante diferente de t_0), o sistema armazena/usa informação de outros instantes (neste caso do futuro), logo NÃO é memoryless.
  • Dica para a prova: para mostrar que um sistema não é sem memória sempre dá para fazer exatamente esse tipo de contraexemplo simples — igualar os sinais em t_0 e fazer diferença em outro instante que o sistema usa.
  • Observação adicional (importante): se o domínio fosse restrito artificialmente a sinais que têm sempre o mesmo valor em t e t+1 (caso muito não usual), a conclusão poderia mudar; mas com o domínio padrão de sinais variados, o raciocínio acima é suficiente.

Resposta

Não, o sistema não é memoryless.

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