8.13 Consider the sequence
x(n)= \begin{cases}n^{2} & 0 \leq n \leq 2 \\\\ 5 & 3 \leq n \leq 5 \\\\ 9-n & 6 \leq n \leq 10 \\\\ 0 & \text { otherwise }\end{cases}
Use the unit-step sequence to find a single expression for x(n) that is valid for all n.

Passo 1

O enunciado dá a sequência por partes e pede uma só expressão válida para todo n\) usando a sequência degrau unitário. Os dados fornecidos são (copiei exatamente do enunciado): \[x(n)= \begin{cases}n^{2} & 0 \leq n \leq 2 \\[4pt] 5 & 3 \leq n \leq 5 \\[4pt] 9-n & 6 \leq n \leq 10 \\[4pt] 0 & \text{otherwise} \end{cases}
A pergunta é: escrever uma única fórmula para x(n)\] que valha para todos os \(n, usando o degrau unitário.]

Passo 2

Vou lembrar e explicar o que é o degrau unitário discreto e como ele é usado para selecionar intervalos de [n).
Definição do degrau unitário discreto: a sequência u(n) é
u(n)=\begin{cases}1 & n\ge 0,\\[4pt]0 & n<0.\end{cases}
Uma propriedade muito útil é que, para inteiros a<b\], \[u(n-a)-u(n-b)\] é igual a \(1 quando a\le n\le b-1 e igual a 0 fora desse intervalo. Em palavras: u(n-a)-u(n-b) cria uma “janela” que está ligada (valor 1) exatamente nos índices n de a até b-1.
Exemplo simples para fixar a ideia: \,u(n)-u(n-3)\, vale 1 para n=0,1,2 e vale 0 para qualquer outro n.]

Passo 3

Agora identifico as janelas que correspondem a cada parte do pedaço-por-pedaço da sequência original.
  • Para o trecho 0\le n\le 2 uso a janela
u(n)-u(n-3),
pois isso é 1 para n=0,1,2 e 0 fora desses índices.
  • Para o trecho 3\le n\le 5 uso a janela
u(n-3)-u(n-6),
pois isso é 1 para n=3,4,5 e 0 fora.
  • Para o trecho 6\le n\le 10 uso a janela
u(n-6)-u(n-11),
pois isso é 1 para n=6,7,8,9,10 e 0 fora.
Essas três janelas cobrem exatamente os índices onde x(n) é diferente de zero, e fora delas todas são zero (o que garante o valor zero “otherwise”).

Passo 4

Construo x(n) multiplicando cada expressão que vale naquele intervalo pela janela correspondente e somando tudo. A ideia é: “ligar” o valor correspondente apenas na janela onde ele deve valer.
Portanto a soma é
x(n)=n^{2}\bigl(u(n)-u(n-3)\bigr)+5\bigl(u(n-3)-u(n-6)\bigr)+(9-n)\bigl(u(n-6)-u(n-11)\bigr).
Explicando cada termo:
  • n^{2}\bigl(u(n)-u(n-3)\bigr) n^{2} quando 0\le n\le2 e 0 fora.
  • 5\bigl(u(n-3)-u(n-6)\bigr) 5 quando 3\le n\le5 e 0 fora.
  • (9-n)\bigl(u(n-6)-u(n-11)\bigr) 9-n quando 6\le n\le10 e 0 fora.
Somando, obtemos exatamente a sequência peça-por-peça original, e zero em qualquer outro n.

Passo 5

Verificação rápida em alguns valores para ficar seguro (apenas conferir mentalmente):
\begin{aligned} n=2:&\quad u(2)-u(-1)=1,\; \text{os outros termos já têm janela }0\Rightarrow x(2)=2^{2}=4,\\[4pt] n=3:&\quad \text{primeira janela }0,\; u(0)-u(-3)=1\Rightarrow x(3)=5,\\[4pt] n=6:&\quad \text{somente a terceira janela é 1}\Rightarrow x(6)=9-6=3,\\[4pt] n=11:&\quad todas as janelas são 0\Rightarrow x(11)=0. \end{aligned}áêéã
Está consistente com o enunciado.]

Resposta

x(n)=n^{2}\bigl(u(n)-u(n-3)\bigr)+5\bigl(u(n-3)-u(n-6)\bigr)+(9-n)\bigl(u(n-6)-u(n-11)\bigr)

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